2749. Osnovna svojstva trigonometrijskih funkcija

1. Domen funkcije Funkcija je definisana za sve realne brojeve, jer kosinusna funkcija nema prekida.

D_f = \mathbb{R} = (-\infty, +\infty)

2. Periodičnost Funkcija je periodična. Osnovni period računamo po formuli $T = \frac{2\pi}{\omega} ,$ gde je $\omega = 2 .$

T = \frac{2\pi}{2} = \pi

3. Parnost i neparnost Proveravamo da li je funkcija parna ili neparna računajući $f(-x) .$ Funkcija nije ni parna ni neparna.

f(-x) = 2 \cos \left( -2x + \frac{\pi}{4} \right) \neq \pm f(x)

4. Nule funkcije Rešavamo jednačinu $f(x) = 0$ da bismo našli preseke sa x-osom.

2 \cos \left( 2x + \frac{\pi}{4} \right) = 0 \implies 2x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + k\pi

Izražavamo $x :$

2x = \frac{\pi}{4} + k\pi \implies x = \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}

5. Presek sa y-osom Računamo vrednost funkcije za $x = 0 .$

f(0) = 2 \cos \left( \frac{\pi}{4} \right) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}

6. Znak funkcije Određujemo intervale u kojima je funkcija pozitivna ( $f(x) > 0$ ). Kosinus je pozitivan kada je argument između $-\frac{\pi}{2} + 2k\pi$ i $\frac{\pi}{2} + 2k\pi .$

-\frac{\pi}{2} + 2k\pi < 2x + \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{2} + 2k\pi

Rešavamo nejednačinu po $x :$

-\frac{3\pi}{4} + 2k\pi < 2x < \frac{\pi}{4} + 2k\pi \implies x \in \left( -\frac{3\pi}{8} + k\pi, \frac{\pi}{8} + k\pi \right), \quad k \in \mathbb{Z}

Funkcija je negativna ( $f(x) < 0$ ) na preostalim intervalima unutar perioda:

x \in \left( \frac{\pi}{8} + k\pi, \frac{5\pi}{8} + k\pi \right), \quad k \in \mathbb{Z}

7. Prvi izvod i monotonost Nalazimo prvi izvod funkcije koristeći pravilo za izvod složene funkcije.

f'(x) = 2 \cdot \left( -\sin \left( 2x + \frac{\pi}{4} \right) \right) \cdot 2 = -4 \sin \left( 2x + \frac{\pi}{4} \right)

8. Ekstremne vrednosti Izjednačavamo prvi izvod sa nulom da bismo našli stacionarne tačke.

-4 \sin \left( 2x + \frac{\pi}{4} \right) = 0 \implies 2x + \frac{\pi}{4} = k\pi

Rešavamo po $x :$

2x = -\frac{\pi}{4} + k\pi \implies x = -\frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}

Za parne $k = 2m$ dobijamo tačke maksimuma, a za neparne $k = 2m + 1$ tačke minimuma:

\begin{aligned} MAX&: \left( -\frac{\pi}{8} + m\pi, 2 \right) \\ MIN&: \left( \frac{3\pi}{8} + m\pi, -2 \right), \quad m \in \mathbb{Z} \end{aligned}

Funkcija raste ( $f'(x) > 0$ ) kada je $\sin \left( 2x + \frac{\pi}{4} \right) < 0 ,$ odnosno na intervalima:

x \in \left( \frac{3\pi}{8} + k\pi, \frac{7\pi}{8} + k\pi \right), \quad k \in \mathbb{Z}

Funkcija opada ( $f'(x) < 0$ ) kada je $\sin \left( 2x + \frac{\pi}{4} \right) > 0 ,$ odnosno na intervalima:

x \in \left( -\frac{\pi}{8} + k\pi, \frac{3\pi}{8} + k\pi \right), \quad k \in \mathbb{Z}

9. Drugi izvod i konveksnost Nalazimo drugi izvod funkcije diferenciranjem prvog izvoda.

f''(x) = -4 \cdot \cos \left( 2x + \frac{\pi}{4} \right) \cdot 2 = -8 \cos \left( 2x + \frac{\pi}{4} \right)

10. Prevojne tačke Izjednačavamo drugi izvod sa nulom. Primećujemo da je $f''(x) = -4f(x) ,$ pa su prevojne tačke iste kao i nule funkcije.

P_k \left( \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}, 0 \right), \quad k \in \mathbb{Z}

Funkcija je konveksna (okrenuta na gore, $f''(x) > 0$ ) kada je $\cos \left( 2x + \frac{\pi}{4} \right) < 0 :$

x \in \left( \frac{\pi}{8} + k\pi, \frac{5\pi}{8} + k\pi \right), \quad k \in \mathbb{Z}

Funkcija je konkavna (okrenuta na dole, $f''(x) < 0$ ) kada je $\cos \left( 2x + \frac{\pi}{4} \right) > 0 :$

x \in \left( -\frac{3\pi}{8} + k\pi, \frac{\pi}{8} + k\pi \right), \quad k \in \mathbb{Z}

853