854

Prvo ćemo uprostiti izraz za funkciju. Koristimo osobinu trigonometrijskih funkcija da je $\cos\left(\alpha - \frac{\pi}{2}\right) = \sin \alpha .$

Zamenom u početnu funkciju dobijamo uprošćen oblik funkcije:

1. Domen i periodičnost Funkcija je definisana za sve realne brojeve, pa je domen $D_f = \mathbb{R} .$ Osnovni period funkcije oblika $\sin(kx)$ je $T = \frac{2\pi}{k} .$ U našem slučaju je $k = 2 :$

2. Nule funkcije Nule funkcije dobijamo rešavanjem jednačine $f(x) = 0 :$

3. Znak funkcije Funkcija je pozitivna ($f(x) > 0$) kada je $\sin \left( 2x - \frac{\pi}{4} \right) > 0 :$

Funkcija je negativna ($f(x) < 0$) kada je $\sin \left( 2x - \frac{\pi}{4} \right) < 0 :$

4. Ekstremne vrednosti Maksimum se dostiže kada je $\sin \left( 2x - \frac{\pi}{4} \right) = 1 ,$ a vrednost maksimuma je $y_{max} = 2 :$

Minimum se dostiže kada je $\sin \left( 2x - \frac{\pi}{4} \right) = -1 ,$ a vrednost minimuma je $y_{min} = -2 :$

5. Monotonost Računamo prvi izvod funkcije da bismo ispitali monotonost:

Funkcija raste kada je $f'(x) > 0 ,$ odnosno $\cos \left( 2x - \frac{\pi}{4} \right) > 0 :$

Funkcija opada kada je $f'(x) < 0 :$

6. Prevojne tačke i konveksnost Računamo drugi izvod funkcije:

Prevojne tačke su rešenja jednačine $f''(x) = 0 ,$ što se poklapa sa nulama funkcije:

Funkcija je konveksna (okrenuta nagore, $\cup$) kada je $f''(x) > 0 ,$ što znači da je $\sin \left( 2x - \frac{\pi}{4} \right) < 0 .$ Ovo se poklapa sa intervalima gde je funkcija negativna:

Funkcija je konkavna (okrenuta nadole, $\cap$) kada je $f''(x) < 0 ,$ što znači da je $\sin \left( 2x - \frac{\pi}{4} \right) > 0 .$ Ovo se poklapa sa intervalima gde je funkcija pozitivna: