2757. Osnovna svojstva trigonometrijskih funkcija

Prvo ćemo uprostiti izraz za funkciju. Koristimo osobinu trigonometrijskih funkcija da je $\cos\left(\alpha - \frac{\pi}{2}\right) = \sin \alpha .$

\begin{aligned} \cos \left( 2x - \frac{3\pi}{4} \right) &= \cos \left( \left(2x - \frac{\pi}{4}\right) - \frac{\pi}{2} \right) \\ &= \sin \left( 2x - \frac{\pi}{4} \right) \end{aligned}

Zamenom u početnu funkciju dobijamo uprošćen oblik funkcije:

f(x) = \sin \left( 2x - \frac{\pi}{4} \right) + \sin \left( 2x - \frac{\pi}{4} \right) = 2 \sin \left( 2x - \frac{\pi}{4} \right)

1. Domen i periodičnost Funkcija je definisana za sve realne brojeve, pa je domen $D_f = \mathbb{R} .$ Osnovni period funkcije oblika $\sin(kx)$ je $T = \frac{2\pi}{k} .$ U našem slučaju je $k = 2 :$

T = \frac{2\pi}{2} = \pi

2. Nule funkcije Nule funkcije dobijamo rešavanjem jednačine $f(x) = 0 :$

\begin{aligned} 2 \sin \left( 2x - \frac{\pi}{4} \right) &= 0 \\ 2x - \frac{\pi}{4} &= k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \\ 2x &= \frac{\pi}{4} + k\pi \\ x &= \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} \end{aligned}

3. Znak funkcije Funkcija je pozitivna ( $f(x) > 0$ ) kada je $\sin \left( 2x - \frac{\pi}{4} \right) > 0 :$

\begin{aligned} 2k\pi &< 2x - \frac{\pi}{4} < \pi + 2k\pi \\ \frac{\pi}{4} + 2k\pi &< 2x < \frac{5\pi}{4} + 2k\pi \\ \frac{\pi}{8} + k\pi &< x < \frac{5\pi}{8} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \end{aligned}

Funkcija je negativna ( $f(x) < 0$ ) kada je $\sin \left( 2x - \frac{\pi}{4} \right) < 0 :$

x \in \left( \frac{5\pi}{8} + k\pi, \frac{9\pi}{8} + k\pi \right), \quad k \in \mathbb{Z}

4. Ekstremne vrednosti Maksimum se dostiže kada je $\sin \left( 2x - \frac{\pi}{4} \right) = 1 ,$ a vrednost maksimuma je $y_{max} = 2 :$

\begin{aligned} 2x - \frac{\pi}{4} &= \frac{\pi}{2} + 2k\pi \\ 2x &= \frac{3\pi}{4} + 2k\pi \\ x &= \frac{3\pi}{8} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \end{aligned}

Minimum se dostiže kada je $\sin \left( 2x - \frac{\pi}{4} \right) = -1 ,$ a vrednost minimuma je $y_{min} = -2 :$

\begin{aligned} 2x - \frac{\pi}{4} &= \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \\ 2x &= \frac{7\pi}{4} + 2k\pi \\ x &= \frac{7\pi}{8} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \end{aligned}

5. Monotonost Računamo prvi izvod funkcije da bismo ispitali monotonost:

f'(x) = 2 \cos \left( 2x - \frac{\pi}{4} \right) \cdot 2 = 4 \cos \left( 2x - \frac{\pi}{4} \right)

Funkcija raste kada je $f'(x) > 0 ,$ odnosno $\cos \left( 2x - \frac{\pi}{4} \right) > 0 :$

\begin{aligned} -\frac{\pi}{2} + 2k\pi &< 2x - \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{2} + 2k\pi \\ -\frac{\pi}{4} + 2k\pi &< 2x < \frac{3\pi}{4} + 2k\pi \\ -\frac{\pi}{8} + k\pi &< x < \frac{3\pi}{8} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \end{aligned}

Funkcija opada kada je $f'(x) < 0 :$

x \in \left( \frac{3\pi}{8} + k\pi, \frac{7\pi}{8} + k\pi \right), \quad k \in \mathbb{Z}

6. Prevojne tačke i konveksnost Računamo drugi izvod funkcije:

f''(x) = -8 \sin \left( 2x - \frac{\pi}{4} \right)

Prevojne tačke su rešenja jednačine $f''(x) = 0 ,$ što se poklapa sa nulama funkcije:

x = \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}

Funkcija je konveksna (okrenuta nagore, $\cup$ ) kada je $f''(x) > 0 ,$ što znači da je $\sin \left( 2x - \frac{\pi}{4} \right) < 0 .$ Ovo se poklapa sa intervalima gde je funkcija negativna:

x \in \left( \frac{5\pi}{8} + k\pi, \frac{9\pi}{8} + k\pi \right), \quad k \in \mathbb{Z}

Funkcija je konkavna (okrenuta nadole, $\cap$ ) kada je $f''(x) < 0 ,$ što znači da je $\sin \left( 2x - \frac{\pi}{4} \right) > 0 .$ Ovo se poklapa sa intervalima gde je funkcija pozitivna:

x \in \left( \frac{\pi}{8} + k\pi, \frac{5\pi}{8} + k\pi \right), \quad k \in \mathbb{Z}

854