2754.

Osnovna svojstva trigonometrijskih funkcija

TEKST ZADATKA

Ispitati tok i nacrtati grafike funkcija (zadaci 848-857): f(x)=2cos⁡(x2−π3). f(x) = 2 \cos \left( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{3} \right) .

REŠENJE ZADATKA

Domen funkcije: Kosinusna funkcija je definisana za sve realne brojeve.

D=RD = \mathbb{R}

Osnovni period funkcije računamo po formuli T=2πω, T = \frac{2\pi}{\omega} , gde je koeficijent uz nepoznatu ω=12. \omega = \frac{1}{2} .

T=2π12=4πT = \frac{2\pi}{\frac{1}{2}} = 4\pi

Nule funkcije nalazimo rešavanjem jednačine f(x)=0. f(x) = 0 .

2cos⁡(x2−π3)=0  ⟹  cos⁡(x2−π3)=02 \cos \left( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{3} \right) = 0 \implies \cos \left( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{3} \right) = 0

Rešavamo dobijenu trigonometrijsku jednačinu:

x2−π3=π2+kπ  ⟹  x2=5π6+kπ  ⟹  x=5π3+2kπ,k∈Z\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + k\pi \implies \frac{x}{2} = \frac{5\pi}{6} + k\pi \implies x = \frac{5\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Znak funkcije: Funkcija je pozitivna kada je cos⁡(x2−π3)>0. \cos \left( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{3} \right) > 0 .

−π2+2kπ<x2−π3<π2+2kπ-\frac{\pi}{2} + 2k\pi < \frac{x}{2} - \frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2} + 2k\pi

Sređivanjem nejednakosti dobijamo intervale u kojima je funkcija pozitivna (f(x)>0 f(x) > 0 ):

−π6+2kπ<x2<5π6+2kπ  ⟹  x∈(−π3+4kπ,5π3+4kπ),k∈Z-\frac{\pi}{6} + 2k\pi < \frac{x}{2} < \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \implies x \in \left( -\frac{\pi}{3} + 4k\pi, \frac{5\pi}{3} + 4k\pi \right), \quad k \in \mathbb{Z}

Funkcija je negativna (f(x)<0 f(x) < 0 ) na preostalim intervalima unutar perioda:

x∈(5π3+4kπ,11π3+4kπ),k∈Zx \in \left( \frac{5\pi}{3} + 4k\pi, \frac{11\pi}{3} + 4k\pi \right), \quad k \in \mathbb{Z}

Prvi izvod funkcije računamo primenom pravila za izvod složene funkcije:

f′(x)=2⋅(−sin⁡(x2−π3))⋅12=−sin⁡(x2−π3)f'(x) = 2 \cdot \left( -\sin \left( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{3} \right) \right) \cdot \frac{1}{2} = -\sin \left( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{3} \right)

Kandidati za ekstremne vrednosti se nalaze izjednačavanjem prvog izvoda sa nulom:

−sin⁡(x2−π3)=0  ⟹  x2−π3=kπ  ⟹  x=2π3+2kπ,k∈Z-\sin \left( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{3} \right) = 0 \implies \frac{x}{2} - \frac{\pi}{3} = k\pi \implies x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Maksimumi funkcije se dostižu kada je cos⁡(x2−π3)=1 \cos \left( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{3} \right) = 1 (tada je f(x)=2 f(x) = 2 ):

xmax=2π3+4kπ,ymax=2x_{max} = \frac{2\pi}{3} + 4k\pi, \quad y_{max} = 2

Minimumi funkcije se dostižu kada je cos⁡(x2−π3)=−1 \cos \left( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{3} \right) = -1 (tada je f(x)=−2 f(x) = -2 ):

xmin=8π3+4kπ,ymin=−2x_{min} = \frac{8\pi}{3} + 4k\pi, \quad y_{min} = -2

Monotonost: Funkcija raste kada je f′(x)>0, f'(x) > 0 , odnosno kada je sin⁡(x2−π3)<0: \sin \left( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{3} \right) < 0 :

π+2kπ<x2−π3<2π+2kπ  ⟹  x∈(8π3+4kπ,14π3+4kπ)\pi + 2k\pi < \frac{x}{2} - \frac{\pi}{3} < 2\pi + 2k\pi \implies x \in \left( \frac{8\pi}{3} + 4k\pi, \frac{14\pi}{3} + 4k\pi \right)

Funkcija opada kada je f′(x)<0: f'(x) < 0 :

x∈(2π3+4kπ,8π3+4kπ)x \in \left( \frac{2\pi}{3} + 4k\pi, \frac{8\pi}{3} + 4k\pi \right)

Drugi izvod funkcije:

f′′(x)=−cos⁡(x2−π3)⋅12=−12cos⁡(x2−π3)f''(x) = -\cos \left( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{3} \right) \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} \cos \left( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{3} \right)

Prevojne tačke nalazimo izjednačavanjem drugog izvoda sa nulom. Primećujemo da je f′′(x)=−14f(x), f''(x) = -\frac{1}{4} f(x) , pa su prevojne tačke iste kao i nule funkcije:

Pk(5π3+2kπ,0),k∈ZP_k \left( \frac{5\pi}{3} + 2k\pi, 0 \right), \quad k \in \mathbb{Z}

Konveksnost i konkavnost: Funkcija je konveksna (okrenuta na gore, ∪ \cup ) kada je f′′(x)>0, f''(x) > 0 , što znači da je f(x)<0: f(x) < 0 :

x∈(5π3+4kπ,11π3+4kπ)x \in \left( \frac{5\pi}{3} + 4k\pi, \frac{11\pi}{3} + 4k\pi \right)

Funkcija je konkavna (okrenuta na dole, ∩ \cap ) kada je f′′(x)<0, f''(x) < 0 , što znači da je f(x)>0: f(x) > 0 :

x∈(−π3+4kπ,5π3+4kπ)x \in \left( -\frac{\pi}{3} + 4k\pi, \frac{5\pi}{3} + 4k\pi \right)

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti