Grafik funkcije: 3/2 − sin x

Određujemo domen funkcije. Funkcija sinus je definisana za sve realne brojeve, pa je domen ceo skup realnih brojeva.

D_f = \mathbb{R} = (-\infty, +\infty)

Ispitujemo periodičnost. Pošto je funkcija sinus periodična sa osnovnim periodom $2\pi ,$ i data funkcija je periodična sa istim periodom. Zbog toga je dovoljno ispitati funkciju na intervalu $[0, 2\pi] .$

T = 2\pi

Ispitujemo parnost i neparnost funkcije računanjem $f(-x) .$ Funkcija nije ni parna ni neparna.

f(-x) = \frac{3}{2} - \sin(-x) = \frac{3}{2} + \sin x \neq \pm f(x)

Tražimo nule funkcije rešavanjem jednačine $f(x) = 0 .$

\frac{3}{2} - \sin x = 0 \implies \sin x = \frac{3}{2}

Pošto vrednost sinusa mora biti u intervalu $[-1, 1] ,$ jednačina nema rešenja. Funkcija nema nule. Presek sa y-osom dobijamo za $x = 0 .$

f(0) = \frac{3}{2} - \sin 0 = \frac{3}{2}

Određujemo znak funkcije. Kako je $\sin x \le 1$ za svako $x ,$ važi sledeće (funkcija je uvek pozitivna):

f(x) = \frac{3}{2} - \sin x \ge \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2} > 0

Funkcija nema vertikalne asimptote jer je definisana na celom skupu $\mathbb{R} .$ Takođe, nema ni horizontalne ni kose asimptote jer je periodična.

Računamo prvi izvod funkcije da bismo odredili monotonost i ekstremne vrednosti.

f'(x) = \left(\frac{3}{2} - \sin x\right)' = -\cos x

Izjednačavamo prvi izvod sa nulom da bismo našli stacionarne tačke.

-\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Na osnovnom periodu $[0, 2\pi] ,$ nule prvog izvoda su $x_1 = \frac{\pi}{2}$ i $x_2 = \frac{3\pi}{2} .$ Analiziramo znak prvog izvoda na ovom intervalu pomoću tabele.

x \in (0, \frac{\pi}{2})

x \in (\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})

x \in (\frac{3\pi}{2}, 2\pi)

-\cos x

-

+

-

Na osnovu tabele znakova prvog izvoda, funkcija opada na intervalima $(0, \frac{\pi}{2})$ i $(\frac{3\pi}{2}, 2\pi) ,$ a raste na intervalu $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}) .$

Funkcija dostiže lokalni minimum za $x = \frac{\pi}{2}$ i lokalni maksimum za $x = \frac{3\pi}{2} .$ Računamo vrednosti funkcije u tim tačkama.

\begin{aligned} f\left(\frac{\pi}{2}\right) &= \frac{3}{2} - \sin\frac{\pi}{2} = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2} \\ f\left(\frac{3\pi}{2}\right) &= \frac{3}{2} - \sin\frac{3\pi}{2} = \frac{3}{2} - (-1) = \frac{5}{2} \end{aligned}

Računamo drugi izvod funkcije za određivanje konveksnosti i prevojnih tačaka.

f''(x) = (- \cos x)' = \sin x

Izjednačavamo drugi izvod sa nulom na intervalu $[0, 2\pi] .$

\sin x = 0 \implies x \in \{0, \pi, 2\pi\}

Analiziramo znak drugog izvoda na intervalu $[0, 2\pi]$ pomoću tabele.

x \in (0, \pi)

x \in (\pi, 2\pi)

\sin x

+

-

Na osnovu tabele znakova drugog izvoda, funkcija je konveksna na intervalu $(0, \pi) ,$ a konkavna na intervalu $(\pi, 2\pi) .$

Prevojne tačke se nalaze tamo gde drugi izvod menja znak, što je za $x = \pi + k\pi .$ Računamo vrednost funkcije u prevojnoj tački na osnovnom periodu.

f(\pi) = \frac{3}{2} - \sin \pi = \frac{3}{2}

Na osnovu sprovedene analize (domen, nule, ekstremi, prevojne tačke i asimptote), možemo precizno nacrtati grafik funkcije. Funkcija osciluje između vrednosti $\frac{1}{2}$ i $\frac{5}{2}$ oko prave $y = \frac{3}{2} .$

Započni učenje

Online časovi

838

Beleške