2743. Osnovna svojstva trigonometrijskih funkcija

REŠENJE ZADATKA

Određujemo domen funkcije. Funkcija kosinus je definisana za sve realne brojeve.

D = \mathbb{R} \quad \text{ili} \quad x \in (-\infty, +\infty)

Ispitujemo periodičnost funkcije. Funkcija je periodična ako postoji broj $T > 0$ takav da važi $f(x+T) = f(x) .$

-\cos(2(x+T)) = -\cos(2x+2T)

Kosinus je periodična funkcija sa osnovnim periodom $2\pi ,$ pa mora važiti:

2T = 2\pi \implies T = \pi

Osnovni period funkcije je $T = \pi .$ Zbog toga je dovoljno ispitati funkciju na intervalu dužine $\pi ,$ na primer $[0, \pi] .$

Ispitujemo parnost funkcije proverom uslova $f(-x) = f(x)$ ili $f(-x) = -f(x) .$

f(-x) = -\cos(2(-x)) = -\cos(-2x) = -\cos(2x) = f(x)

Pošto je $f(-x) = f(x) ,$ funkcija je parna. Njen grafik je simetričan u odnosu na y-osu.

Tražimo nule funkcije rešavanjem jednačine $f(x) = 0 .$

-\cos 2x = 0 \implies \cos 2x = 0

Rešavamo trigonometrijsku jednačinu:

2x = \frac{\pi}{2} + k\pi \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}

Na posmatranom intervalu $[0, \pi] ,$ nule funkcije se dobijaju za $k=0$ i $k=1 .$

x_1 = \frac{\pi}{4}, \quad x_2 = \frac{3\pi}{4}

Određujemo presek sa y-osom računajući vrednost funkcije za $x = 0 .$

f(0) = -\cos(2 \cdot 0) = -\cos 0 = -1

Određujemo znak funkcije na intervalu $[0, \pi] .$ Funkcija je pozitivna kada je $f(x) > 0 .$

-\cos 2x > 0 \implies \cos 2x < 0

Za $x \in [0, \pi] ,$ argument $2x$ pripada intervalu $[0, 2\pi] .$ Kosinus je negativan u drugom i trećem kvadrantu.

2x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right) \implies x \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}\right)

Dakle, funkcija je pozitivna na intervalu $(\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}) ,$ a negativna na $[0, \frac{\pi}{4}) \cup (\frac{3\pi}{4}, \pi] .$

Računamo prvi izvod funkcije kako bismo ispitali monotonost i našli ekstremne vrednosti.

f'(x) = -(-\sin 2x) \cdot (2x)' = 2\sin 2x

Izjednačavamo prvi izvod sa nulom da bismo našli kritične tačke.

2\sin 2x = 0 \implies \sin 2x = 0

Rešavamo jednačinu na intervalu $[0, \pi]$ (tada $2x \in [0, 2\pi]$ ).

2x = 0, \; 2x = \pi, \; 2x = 2\pi \implies x = 0, \; x = \frac{\pi}{2}, \; x = \pi

Analiziramo znak prvog izvoda na intervalu $[0, \pi] .$

\begin{aligned} &x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) \implies 2x \in (0, \pi) \implies \sin 2x > 0 \implies f'(x) > 0 \quad \text{(funkcija raste)} \\ &x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) \implies 2x \in (\pi, 2\pi) \implies \sin 2x < 0 \implies f'(x) < 0 \quad \text{(funkcija opada)} \end{aligned}

Na osnovu promene znaka prvog izvoda, zaključujemo da funkcija ima lokalni maksimum u tački $x = \frac{\pi}{2} .$

f\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{2}\right) = -\cos \pi = -(-1) = 1

Tačka maksimuma je $M\left(\frac{\pi}{2}, 1\right) .$ Minimumi na posmatranom intervalu su na krajevima, u $x=0$ i $x=\pi ,$ sa vrednošću $-1 .$

Računamo drugi izvod funkcije kako bismo ispitali konveksnost i našli prevojne tačke.

f''(x) = (2\sin 2x)' = 2 \cdot \cos 2x \cdot 2 = 4\cos 2x

Izjednačavamo drugi izvod sa nulom.

4\cos 2x = 0 \implies \cos 2x = 0

Rešenja ove jednačine su ista kao i nule funkcije.

x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}

Analiziramo znak drugog izvoda na intervalu $[0, \pi] .$

\begin{aligned} &x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) \cup \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right) \implies f''(x) > 0 \quad \text{(funkcija je konveksna, } \cup) \\ &x \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}\right) \implies f''(x) < 0 \quad \text{(funkcija je konkavna, } \cap) \end{aligned}

Prevojne tačke su tačke u kojima drugi izvod menja znak, a to su upravo nule funkcije na ovom intervalu.

P_1\left(\frac{\pi}{4}, 0\right), \quad P_2\left(\frac{3\pi}{4}, 0\right)

Funkcija je definisana i neprekidna na celom skupu realnih brojeva, pa nema vertikalnih asimptota. Takođe, kao periodična funkcija, nema ni horizontalne ni kose asimptote.

839