Grafik funkcije: y = sin 2x

Određujemo domen funkcije. Funkcija je definisana za sve realne brojeve.

D_f = \mathbb{R} \quad \text{ili} \quad x \in (-\infty, +\infty)

Ispitujemo parnost funkcije. Funkcija je neparna jer važi $f(-x) = -f(x) .$

f(-x) = \sin(2(-x)) = \sin(-2x) = -\sin(2x) = -f(x)

Određujemo osnovni period funkcije. Znamo da je osnovni period funkcije $\sin x$ jednak $2\pi .$ Dovoljno je ispitati funkciju na intervalu $[0, \pi] .$

T = \frac{2\pi}{2} = \pi

Tražimo nule funkcije rešavanjem jednačine $y = 0 .$

\sin 2x = 0 \implies 2x = k\pi \implies x = \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}

Na osnovnom periodu $[0, \pi] ,$ nule funkcije su:

x_1 = 0, \quad x_2 = \frac{\pi}{2}, \quad x_3 = \pi

Određujemo znak funkcije na intervalu $[0, \pi] .$

\begin{aligned} y > 0 &\implies \sin 2x > 0 \implies 2x \in (0, \pi) \implies x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) \\ y < 0 &\implies \sin 2x < 0 \implies 2x \in (\pi, 2\pi) \implies x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) \end{aligned}

Računamo prvi izvod funkcije kako bismo ispitali monotonost i našli ekstremne vrednosti.

y' = (\sin 2x)' = 2\cos 2x

Izjednačavamo prvi izvod sa nulom da bismo našli stacionarne tačke.

y' = 0 \implies 2\cos 2x = 0 \implies 2x = \frac{\pi}{2} + k\pi \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}

Za $k=0$ i $k=1$ dobijamo stacionarne tačke na intervalu $[0, \pi] .$

x_1 = \frac{\pi}{4}, \quad x_2 = \frac{3\pi}{4}

Analiziramo znak prvog izvoda na intervalu $[0, \pi] .$

\begin{aligned} y' > 0 &\implies \cos 2x > 0 \implies x \in \left[0, \frac{\pi}{4}\right) \cup \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right] \quad (\text{funkcija raste}) \\ y' < 0 &\implies \cos 2x < 0 \implies x \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}\right) \quad (\text{funkcija opada}) \end{aligned}

Na osnovu promene znaka prvog izvoda, određujemo maksimum i minimum.

\begin{aligned} M_{\max} &= \left(\frac{\pi}{4}, \sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right)\right) = \left(\frac{\pi}{4}, 1\right) \\ M_{\min} &= \left(\frac{3\pi}{4}, \sin\left(2 \cdot \frac{3\pi}{4}\right)\right) = \left(\frac{3\pi}{4}, -1\right) \end{aligned}

Računamo drugi izvod funkcije za ispitivanje konveksnosti i prevojnih tačaka.

y'' = (2\cos 2x)' = -4\sin 2x

Izjednačavamo drugi izvod sa nulom. Primećujemo da je $y'' = -4y ,$ pa su prevojne tačke iste kao i nule funkcije.

y'' = 0 \implies -4\sin 2x = 0 \implies x = \frac{k\pi}{2}

Analiziramo znak drugog izvoda na intervalu $[0, \pi] .$

\begin{aligned} y'' > 0 &\implies \sin 2x < 0 \implies x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) \quad (\text{funkcija je konveksna } \cup) \\ y'' < 0 &\implies \sin 2x > 0 \implies x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) \quad (\text{funkcija je konkavna } \cap) \end{aligned}

Funkcija je neprekidna na celom domenu i periodična, pa nema vertikalne, horizontalne ni kose asimptote.

Na osnovu svih dobijenih podataka, crtamo grafik funkcije koji predstavlja sinusoidu sa amplitudom 1 i periodom $\pi .$

Započni učenje

Online časovi

840

Beleške