Grafik funkcije apsolutna vrednost cos x

Po definiciji apsolutne vrednosti, funkciju možemo zapisati kao:

|\cos x| = \begin{cases} \cos x, & \text{za } \cos x \ge 0 \\ -\cos x, & \text{za } \cos x < 0 \end{cases}

Domen funkcije: Kosinusna funkcija je definisana za sve realne brojeve.

D = \mathbb{R}

Parnost funkcije: Proveravamo da li je funkcija parna ili neparna.

f(-x) = |\cos(-x)| = |\cos x| = f(x)

Pošto je $f(-x) = f(x) ,$ funkcija je parna, što znači da je njen grafik simetričan u odnosu na y-osu.

Periodičnost: Osnovni period funkcije $\cos x$ je $2\pi .$ Međutim, zbog apsolutne vrednosti, negativni delovi grafika postaju pozitivni, pa se osnovni period smanjuje na pola.

f(x+\pi) = |\cos(x+\pi)| = |-\cos x| = |\cos x| = f(x) \implies T = \pi

Nule funkcije: Tražimo tačke u kojima grafik seče x-osu.

y = 0 \iff |\cos x| = 0 \iff \cos x = 0 \iff x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Znak funkcije: Zbog apsolutne vrednosti, funkcija je uvek nenegativna.

y \ge 0 \quad \text{za svako } x \in \mathbb{R}

Prvi izvod funkcije: Zbog periodičnosti ( $T = \pi$ ) i parnosti, dovoljno je ispitati funkciju na intervalu $[0, \pi] .$ Na ovom intervalu funkciju delimo na dva dela zbog apsolutne vrednosti.

y' = \begin{cases} (\cos x)' = -\sin x, & x \in [0, \frac{\pi}{2}) \\ (-\cos x)' = \sin x, & x \in (\frac{\pi}{2}, \pi] \end{cases}

Monotonost na intervalu $[0, \pi] :$

\begin{aligned} &x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) \implies y' = -\sin x < 0 \implies \text{funkcija opada} \\ &x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) \implies y' = \sin x > 0 \implies \text{funkcija raste} \end{aligned}

Ekstremne vrednosti: Iz promene znaka prvog izvoda zaključujemo da funkcija ima lokalni minimum u $x = \frac{\pi}{2} .$ U tačkama $x = 0$ i $x = \pi$ funkcija dostiže lokalni maksimum.

\begin{aligned} &y_{min} = f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 \\ &y_{max} = f(0) = f(\pi) = 1 \end{aligned}

Drugi izvod funkcije na intervalu $[0, \pi] \setminus \left\{\frac{\pi}{2}\right\} :$

y'' = \begin{cases} (-\sin x)' = -\cos x, & x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) \\ (\sin x)' = \cos x, & x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) \end{cases}

Konveksnost i konkavnost: Na intervalu $(0, \frac{\pi}{2})$ je $-\cos x < 0 ,$ a na intervalu $(\frac{\pi}{2}, \pi)$ je $\cos x < 0 .$ Funkcija je svuda konkavna i nema prevojnih tačaka.

y'' < 0 \quad \text{za svako } x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi

Asimptote: Funkcija je neprekidna na celom domenu i periodična, pa nema vertikalne, horizontalne ni kose asimptote.

Grafik funkcije: Grafik se crta tako što se nacrta grafik funkcije $y = \cos x ,$ a zatim se svi delovi grafika koji se nalaze ispod x-ose preslikaju simetrično u odnosu na x-osu (preklope se na gore). U tačkama $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ grafik ima "šiljke" jer prvi izvod tu ne postoji.

Započni učenje

Online časovi

844.b

Beleške