Grafik funkcije kosekans x

Zapisujemo funkciju preko funkcije sinus, jer po definiciji važi:

f(x) = \text{cosec} x = \frac{1}{\sin x}

Određujemo domen funkcije. Funkcija je definisana za sve realne brojeve osim onih za koje je imenilac jednak nuli.

\sin x \neq 0 \implies x \neq k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Ispitujemo parnost funkcije računajući $f(-x) .$

f(-x) = \frac{1}{\sin(-x)} = \frac{1}{-\sin x} = -\frac{1}{\sin x} = -f(x)

Pošto je $f(-x) = -f(x) ,$ funkcija je neparna. Njen grafik je simetričan u odnosu na koordinatni početak.

Ispitujemo periodičnost. S obzirom da je osnovni period funkcije sinus $2\pi ,$ i naša funkcija je periodična sa istim osnovnim periodom.

T = 2\pi

Tražimo nule funkcije rešavajući jednačinu $f(x) = 0 .$

\frac{1}{\sin x} = 0

Kako brojilac nikada nije jednak nuli, funkcija nema nula i ne seče x-osu.

Određujemo znak funkcije. Znak zavisi isključivo od imenioca, odnosno od funkcije sinus.

f(x) > 0 \text{ za } \sin x > 0 \implies x \in (2k\pi, \pi + 2k\pi), \quad k \in \mathbb{Z}

Slično, funkcija je negativna kada je sinus negativan.

f(x) < 0 \text{ za } \sin x < 0 \implies x \in (\pi + 2k\pi, 2\pi + 2k\pi), \quad k \in \mathbb{Z}

Ispitujemo vertikalne asimptote. Prekidi funkcije su u tačkama $x = k\pi .$ Računamo levi i desni limes u ovim tačkama (na primer za $x = 0$ i $x = \pi$ ).

\begin{aligned} \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{\sin x} &= +\infty \\ \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{\sin x} &= -\infty \\ \lim_{x \to \pi^-} \frac{1}{\sin x} &= +\infty \\ \lim_{x \to \pi^+} \frac{1}{\sin x} &= -\infty \end{aligned}

Prave $x = k\pi$ su vertikalne asimptote funkcije. Zbog periodičnosti, funkcija nema horizontalne ni kose asimptote.

Tražimo prvi izvod funkcije kako bismo ispitali monotonost i ekstremne vrednosti.

f'(x) = \left( (\sin x)^{-1} \right)' = -1 \cdot (\sin x)^{-2} \cdot \cos x = -\frac{\cos x}{\sin^2 x}

Izjednačavamo prvi izvod sa nulom da bismo našli stacionarne tačke.

-\frac{\cos x}{\sin^2 x} = 0 \implies \cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Analiziramo znak prvog izvoda. Pošto je imenilac $\sin^2 x > 0$ za sve vrednosti iz domena, znak prvog izvoda zavisi od $-\cos x .$

f'(x) > 0 \implies -\cos x > 0 \implies \cos x < 0

Funkcija raste kada je kosinus negativan.

x \in \left( \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \right) \setminus \{\pi + 2k\pi\}

Funkcija opada kada je kosinus pozitivan.

f'(x) < 0 \implies \cos x > 0 \implies x \in \left( -\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{\pi}{2} + 2k\pi \right) \setminus \{2k\pi\}

Određujemo ekstremne vrednosti. Za $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$ prvi izvod menja znak iz minusa u plus, pa funkcija ima lokalne minimume.

f\left(\frac{\pi}{2} + 2k\pi\right) = \frac{1}{\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)} = 1 \implies T_{\min}\left(\frac{\pi}{2} + 2k\pi, 1\right)

Za $x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$ prvi izvod menja znak iz plusa u minus, pa funkcija ima lokalne maksimume.

f\left(\frac{3\pi}{2} + 2k\pi\right) = \frac{1}{\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)} = -1 \implies T_{\max}\left(\frac{3\pi}{2} + 2k\pi, -1\right)

Računamo drugi izvod funkcije kako bismo ispitali konveksnost i prevojne tačke.

f''(x) = \left( -\frac{\cos x}{\sin^2 x} \right)' = - \frac{(\cos x)' \sin^2 x - \cos x (\sin^2 x)'}{\sin^4 x}

Primenjujemo pravila za izvod i sređujemo izraz.

f''(x) = - \frac{-\sin x \cdot \sin^2 x - \cos x \cdot 2\sin x \cos x}{\sin^4 x} = \frac{\sin^3 x + 2\sin x \cos^2 x}{\sin^4 x}

Skraćujemo sa $\sin x$ i koristimo osnovni trigonometrijski identitet.

f''(x) = \frac{\sin^2 x + 2\cos^2 x}{\sin^3 x} = \frac{1 - \cos^2 x + 2\cos^2 x}{\sin^3 x} = \frac{1 + \cos^2 x}{\sin^3 x}

Tražimo nule drugog izvoda. Kako je brojilac $1 + \cos^2 x \ge 1 ,$ drugi izvod nikada nije jednak nuli, pa funkcija nema prevojnih tačaka.

1 + \cos^2 x = 0 \implies \text{nema rešenja}

Znak drugog izvoda zavisi isključivo od imenioca, odnosno od znaka funkcije sinus. Funkcija je konveksna (okrenuta na gore) kada je drugi izvod pozitivan.

f''(x) > 0 \implies \sin^3 x > 0 \implies \sin x > 0 \implies x \in (2k\pi, \pi + 2k\pi)

Funkcija je konkavna (okrenuta na dole) kada je drugi izvod negativan.

f''(x) < 0 \implies \sin^3 x < 0 \implies \sin x < 0 \implies x \in (\pi + 2k\pi, 2\pi + 2k\pi)

Na osnovu svih dobijenih podataka, može se nacrtati grafik funkcije. Grafik se sastoji od grana u obliku slova U i obrnutog U između vertikalnih asimptota.

Započni učenje

Online časovi

843.a

Beleške