Grafik funkcije sekans x

Zapišimo funkciju preko kosinusa:

f(x) = \frac{1}{\cos x}

Domen funkcije: Funkcija je definisana za sve realne brojeve osim onih za koje je imenilac jednak nuli. Rešavamo jednačinu:

\cos x = 0

Rešenja ove jednačine su:

x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Domen funkcije je:

D_f = \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \right\}

Parnost i periodičnost: Ispitujemo parnost funkcije:

f(-x) = \frac{1}{\cos(-x)} = \frac{1}{\cos x} = f(x)

Pošto je $f(-x) = f(x) ,$ funkcija je parna. Zbog toga je grafik simetričan u odnosu na y-osu.

Ispitujemo periodičnost. Pošto je osnovni period funkcije $\cos x$ jednak $2\pi ,$ osnovni period funkcije $f(x)$ je takođe:

T = 2\pi

Nule i presek sa y-osom: Tražimo nule funkcije rešavanjem jednačine $f(x) = 0 :$

\frac{1}{\cos x} = 0

Ova jednačina nema rešenja, pa funkcija nema nule.

Tražimo presek sa y-osom računajući $f(0) :$

f(0) = \frac{1}{\cos 0} = \frac{1}{1} = 1

Znak funkcije: Znak funkcije zavisi isključivo od znaka imenioca, odnosno funkcije $\cos x .$ Zbog periodičnosti, analiziramo znak na intervalu $[0, 2\pi] .$

Na osnovnom periodu, funkcija je pozitivna ( $f(x) > 0$ ) kada je $\cos x > 0 :$

x \in \left[ 0, \frac{\pi}{2} \right) \cup \left( \frac{3\pi}{2}, 2\pi \right]

Funkcija je negativna ( $f(x) < 0$ ) kada je $\cos x < 0 :$

x \in \left( \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} \right)

Asimptote: Funkcija nema horizontalne ni kose asimptote jer je periodična. Vertikalne asimptote se nalaze u tačkama prekida:

x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Ispitujemo ponašanje funkcije u okolini vertikalne asimptote $x = \frac{\pi}{2} :$

\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} \frac{1}{\cos x} = +\infty, \quad \lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} \frac{1}{\cos x} = -\infty

Prvi izvod, monotonost i ekstremne vrednosti: Računamo prvi izvod funkcije:

f'(x) = \left( (\cos x)^{-1} \right)' = -1 \cdot (\cos x)^{-2} \cdot (-\sin x) = \frac{\sin x}{\cos^2 x}

Izjednačavamo prvi izvod sa nulom da bismo našli stacionarne tačke:

\frac{\sin x}{\cos^2 x} = 0 \implies \sin x = 0

Rešenja na intervalu $[0, 2\pi]$ su:

x = 0, \quad x = \pi, \quad x = 2\pi

Analiziramo znak prvog izvoda. Pošto je imenilac $\cos^2 x > 0$ (za $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$ ), znak prvog izvoda zavisi samo od brojioca $\sin x .$

Na intervalu $(0, \pi) \setminus \left\{\frac{\pi}{2}\right\}$ je $\sin x > 0 ,$ pa je $f'(x) > 0$ i funkcija raste.

Na intervalu $(\pi, 2\pi) \setminus \left\{\frac{3\pi}{2}\right\}$ je $\sin x < 0 ,$ pa je $f'(x) < 0$ i funkcija opada.

U tački $x = \pi$ funkcija prelazi iz rastuće u opadajuću, pa tu ima lokalni maksimum. Vrednost funkcije u toj tački je:

f(\pi) = \frac{1}{\cos \pi} = -1

U tačkama $x = 0$ i $x = 2\pi$ funkcija ima lokalni minimum (uzimajući u obzir periodičnost), sa vrednošću:

f(0) = f(2\pi) = 1

Drugi izvod, konveksnost i prevojne tačke: Računamo drugi izvod funkcije:

f''(x) = \left( \frac{\sin x}{\cos^2 x} \right)' = \frac{\cos x \cdot \cos^2 x - \sin x \cdot 2\cos x (-\sin x)}{\cos^4 x}

Sređujemo izraz za drugi izvod:

f''(x) = \frac{\cos^3 x + 2\sin^2 x \cos x}{\cos^4 x} = \frac{\cos^2 x + 2\sin^2 x}{\cos^3 x}

Koristeći identitet $\cos^2 x + \sin^2 x = 1 ,$ brojilac možemo zapisati kao $1 + \sin^2 x :$

f''(x) = \frac{1 + \sin^2 x}{\cos^3 x}

Pošto je brojilac $1 + \sin^2 x > 0$ za svako $x ,$ znak drugog izvoda zavisi isključivo od imenioca $\cos^3 x ,$ odnosno od znaka funkcije $\cos x .$

Na osnovnom periodu, funkcija je konveksna ( $f''(x) > 0$ ) kada je $\cos x > 0 :$

x \in \left[ 0, \frac{\pi}{2} \right) \cup \left( \frac{3\pi}{2}, 2\pi \right]

Funkcija je konkavna ( $f''(x) < 0$ ) kada je $\cos x < 0 :$

x \in \left( \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} \right)

Pošto drugi izvod nikada nije jednak nuli, funkcija nema prevojnih tačaka.

Započni učenje

Online časovi

843.b

Beleške