2753.

Osnovna svojstva trigonometrijskih funkcija

TEKST ZADATKA

Ispitati tok i nacrtati grafike funkcija (zadaci 837-845): f(x)=32−sin⁡x. f(x) = \frac{3}{2} - \sin x .

REŠENJE ZADATKA

Određujemo domen funkcije. Funkcija sinus je definisana za sve realne brojeve, pa je domen ceo skup realnih brojeva.

Df=R=(−∞,+∞)D_f = \mathbb{R} = (-\infty, +\infty)

Ispitujemo periodičnost. Pošto je funkcija sinus periodična sa osnovnim periodom 2π, 2\pi , i data funkcija je periodična sa istim periodom. Zbog toga je dovoljno ispitati funkciju na intervalu [0,2π]. [0, 2\pi] .

T=2πT = 2\pi

Ispitujemo parnost i neparnost funkcije računanjem f(−x). f(-x) . Funkcija nije ni parna ni neparna.

f(−x)=32−sin⁡(−x)=32+sin⁡x≠±f(x)f(-x) = \frac{3}{2} - \sin(-x) = \frac{3}{2} + \sin x \neq \pm f(x)

Tražimo nule funkcije rešavanjem jednačine f(x)=0. f(x) = 0 .

32−sin⁡x=0  ⟹  sin⁡x=32\frac{3}{2} - \sin x = 0 \implies \sin x = \frac{3}{2}

Pošto vrednost sinusa mora biti u intervalu [−1,1], [-1, 1] , jednačina nema rešenja. Funkcija nema nule. Presek sa y-osom dobijamo za x=0. x = 0 .

f(0)=32−sin⁡0=32f(0) = \frac{3}{2} - \sin 0 = \frac{3}{2}

Određujemo znak funkcije. Kako je sin⁡x≤1 \sin x \le 1 za svako x, x , važi sledeće (funkcija je uvek pozitivna):

f(x)=32−sin⁡x≥32−1=12>0f(x) = \frac{3}{2} - \sin x \ge \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2} > 0

Funkcija nema vertikalne asimptote jer je definisana na celom skupu R. \mathbb{R} . Takođe, nema ni horizontalne ni kose asimptote jer je periodična.

Računamo prvi izvod funkcije da bismo odredili monotonost i ekstremne vrednosti.

f′(x)=(32−sin⁡x)′=−cos⁡xf'(x) = \left(\frac{3}{2} - \sin x\right)' = -\cos x

Izjednačavamo prvi izvod sa nulom da bismo našli stacionarne tačke.

−cos⁡x=0  ⟹  x=π2+kπ,k∈Z-\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Na osnovnom periodu [0,2π], [0, 2\pi] , nule prvog izvoda su x1=π2 x_1 = \frac{\pi}{2} i x2=3π2. x_2 = \frac{3\pi}{2} . Analiziramo znak prvog izvoda na ovom intervalu pomoću tabele.

x∈(0,π2)x \in (0, \frac{\pi}{2})
x∈(π2,3π2)x \in (\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})
x∈(3π2,2π)x \in (\frac{3\pi}{2}, 2\pi)
−cos⁡x-\cos x
−-
++
−-

Na osnovu tabele znakova prvog izvoda, funkcija opada na intervalima (0,π2) (0, \frac{\pi}{2}) i (3π2,2π), (\frac{3\pi}{2}, 2\pi) , a raste na intervalu (π2,3π2). (\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}) .

Funkcija dostiže lokalni minimum za x=π2 x = \frac{\pi}{2} i lokalni maksimum za x=3π2. x = \frac{3\pi}{2} . Računamo vrednosti funkcije u tim tačkama.

f(π2)=32−sin⁡π2=32−1=12f(3π2)=32−sin⁡3π2=32−(−1)=52\begin{aligned} f\left(\frac{\pi}{2}\right) &= \frac{3}{2} - \sin\frac{\pi}{2} = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2} \\ f\left(\frac{3\pi}{2}\right) &= \frac{3}{2} - \sin\frac{3\pi}{2} = \frac{3}{2} - (-1) = \frac{5}{2} \end{aligned}

Računamo drugi izvod funkcije za određivanje konveksnosti i prevojnih tačaka.

f′′(x)=(−cos⁡x)′=sin⁡xf''(x) = (- \cos x)' = \sin x

Izjednačavamo drugi izvod sa nulom na intervalu [0,2π]. [0, 2\pi] .

sin⁡x=0  ⟹  x∈{0,π,2π}\sin x = 0 \implies x \in \{0, \pi, 2\pi\}

Analiziramo znak drugog izvoda na intervalu [0,2π] [0, 2\pi] pomoću tabele.

x∈(0,π)x \in (0, \pi)
x∈(π,2π)x \in (\pi, 2\pi)
sin⁡x\sin x
++
−-

Na osnovu tabele znakova drugog izvoda, funkcija je konveksna na intervalu (0,π), (0, \pi) , a konkavna na intervalu (π,2π). (\pi, 2\pi) .

Prevojne tačke se nalaze tamo gde drugi izvod menja znak, što je za x=π+kπ. x = \pi + k\pi . Računamo vrednost funkcije u prevojnoj tački na osnovnom periodu.

f(π)=32−sin⁡π=32f(\pi) = \frac{3}{2} - \sin \pi = \frac{3}{2}

Na osnovu sprovedene analize (domen, nule, ekstremi, prevojne tačke i asimptote), možemo precizno nacrtati grafik funkcije. Funkcija osciluje između vrednosti 12 \frac{1}{2} i 52 \frac{5}{2} oko prave y=32. y = \frac{3}{2} .

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti