2752.

Osnovna svojstva trigonometrijskih funkcija

Određujemo domen funkcije. Funkcija tangens nije definisana za $x = \frac{\pi}{2} + k\pi ,$ gde je $k \in \mathbb{Z} .$

Ispitujemo periodičnost i parnost. Funkcija je periodična sa osnovnim periodom $T = \pi$ jer je $|\text{tg}(x + \pi)| = |\text{tg} x| .$ Zbog toga je dovoljno ispitati funkciju na intervalu $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) .$ Funkcija je parna:

Definišemo izraz pod apsolutnom vrednošću kako bismo olakšali dalju analizu:

Određujemo nule i znak funkcije. Zbog apsolutne vrednosti, funkcija je uvek nenegativna, odnosno $y \ge 0$ za svako $x \in D .$

Ispitujemo asimptote. Zbog periodičnosti nema horizontalnih ni kosih asimptota. Vertikalne asimptote se nalaze u tačkama prekida $x = \frac{\pi}{2} + k\pi .$

Računamo prvi izvod funkcije za $x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \setminus \{0\} .$ U tački $x = 0$ funkcija nije diferencijabilna jer se levi i desni izvod razlikuju (levi izvod je -1, desni je 1), ali tu ima lokalni minimum $(0, 0) .$

Računamo drugi izvod funkcije da bismo ispitali konveksnost.

Analiziramo znak drugog izvoda. Za $x \in (0, \frac{\pi}{2})$ je $\sin x > 0$ i $\cos x > 0 ,$ pa je $y'' > 0 .$ Za $x \in (-\frac{\pi}{2}, 0)$ je $\sin x < 0$ i $\cos x > 0 ,$ pa je $-\frac{2\sin x}{\cos^3 x} > 0 .$ Funkcija je svuda konveksna na svom domenu i nema prevojnih tačaka.