2757.

Osnovna svojstva trigonometrijskih funkcija

TEKST ZADATKA

Ispitati tok i nacrtati grafike funkcija (zadaci 848-857): f(x)=sin⁡(2x−π4)+cos⁡(2x−3π4). f(x) = \sin \left( 2x - \frac{\pi}{4} \right) + \cos \left( 2x - \frac{3\pi}{4} \right) .

REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo uprostiti izraz za funkciju. Koristimo osobinu trigonometrijskih funkcija da je cos⁡(α−π2)=sin⁡α. \cos\left(\alpha - \frac{\pi}{2}\right) = \sin \alpha .

cos⁡(2x−3π4)=cos⁡((2x−π4)−π2)=sin⁡(2x−π4)\begin{aligned} \cos \left( 2x - \frac{3\pi}{4} \right) &= \cos \left( \left(2x - \frac{\pi}{4}\right) - \frac{\pi}{2} \right) \\ &= \sin \left( 2x - \frac{\pi}{4} \right) \end{aligned}

Zamenom u početnu funkciju dobijamo uprošćen oblik funkcije:

f(x)=sin⁡(2x−π4)+sin⁡(2x−π4)=2sin⁡(2x−π4)f(x) = \sin \left( 2x - \frac{\pi}{4} \right) + \sin \left( 2x - \frac{\pi}{4} \right) = 2 \sin \left( 2x - \frac{\pi}{4} \right)

1. Domen i periodičnost Funkcija je definisana za sve realne brojeve, pa je domen Df=R. D_f = \mathbb{R} . Osnovni period funkcije oblika sin⁡(kx) \sin(kx) je T=2πk. T = \frac{2\pi}{k} . U našem slučaju je k=2: k = 2 :

T=2π2=πT = \frac{2\pi}{2} = \pi

2. Nule funkcije Nule funkcije dobijamo rešavanjem jednačine f(x)=0: f(x) = 0 :

2sin⁡(2x−π4)=02x−π4=kπ,k∈Z2x=π4+kπx=π8+kπ2,k∈Z\begin{aligned} 2 \sin \left( 2x - \frac{\pi}{4} \right) &= 0 \\ 2x - \frac{\pi}{4} &= k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \\ 2x &= \frac{\pi}{4} + k\pi \\ x &= \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} \end{aligned}

3. Znak funkcije Funkcija je pozitivna (f(x)>0 f(x) > 0 ) kada je sin⁡(2x−π4)>0: \sin \left( 2x - \frac{\pi}{4} \right) > 0 :

2kπ<2x−π4<π+2kππ4+2kπ<2x<5π4+2kππ8+kπ<x<5π8+kπ,k∈Z\begin{aligned} 2k\pi &< 2x - \frac{\pi}{4} < \pi + 2k\pi \\ \frac{\pi}{4} + 2k\pi &< 2x < \frac{5\pi}{4} + 2k\pi \\ \frac{\pi}{8} + k\pi &< x < \frac{5\pi}{8} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \end{aligned}

Funkcija je negativna (f(x)<0 f(x) < 0 ) kada je sin⁡(2x−π4)<0: \sin \left( 2x - \frac{\pi}{4} \right) < 0 :

x∈(5π8+kπ,9π8+kπ),k∈Zx \in \left( \frac{5\pi}{8} + k\pi, \frac{9\pi}{8} + k\pi \right), \quad k \in \mathbb{Z}

4. Ekstremne vrednosti Maksimum se dostiže kada je sin⁡(2x−π4)=1, \sin \left( 2x - \frac{\pi}{4} \right) = 1 , a vrednost maksimuma je ymax=2: y_{max} = 2 :

2x−π4=π2+2kπ2x=3π4+2kπx=3π8+kπ,k∈Z\begin{aligned} 2x - \frac{\pi}{4} &= \frac{\pi}{2} + 2k\pi \\ 2x &= \frac{3\pi}{4} + 2k\pi \\ x &= \frac{3\pi}{8} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \end{aligned}

Minimum se dostiže kada je sin⁡(2x−π4)=−1, \sin \left( 2x - \frac{\pi}{4} \right) = -1 , a vrednost minimuma je ymin=−2: y_{min} = -2 :

2x−π4=3π2+2kπ2x=7π4+2kπx=7π8+kπ,k∈Z\begin{aligned} 2x - \frac{\pi}{4} &= \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \\ 2x &= \frac{7\pi}{4} + 2k\pi \\ x &= \frac{7\pi}{8} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \end{aligned}

5. Monotonost Računamo prvi izvod funkcije da bismo ispitali monotonost:

f′(x)=2cos⁡(2x−π4)⋅2=4cos⁡(2x−π4)f'(x) = 2 \cos \left( 2x - \frac{\pi}{4} \right) \cdot 2 = 4 \cos \left( 2x - \frac{\pi}{4} \right)

Funkcija raste kada je f′(x)>0, f'(x) > 0 , odnosno cos⁡(2x−π4)>0: \cos \left( 2x - \frac{\pi}{4} \right) > 0 :

−π2+2kπ<2x−π4<π2+2kπ−π4+2kπ<2x<3π4+2kπ−π8+kπ<x<3π8+kπ,k∈Z\begin{aligned} -\frac{\pi}{2} + 2k\pi &< 2x - \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{2} + 2k\pi \\ -\frac{\pi}{4} + 2k\pi &< 2x < \frac{3\pi}{4} + 2k\pi \\ -\frac{\pi}{8} + k\pi &< x < \frac{3\pi}{8} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \end{aligned}

Funkcija opada kada je f′(x)<0: f'(x) < 0 :

x∈(3π8+kπ,7π8+kπ),k∈Zx \in \left( \frac{3\pi}{8} + k\pi, \frac{7\pi}{8} + k\pi \right), \quad k \in \mathbb{Z}

6. Prevojne tačke i konveksnost Računamo drugi izvod funkcije:

f′′(x)=−8sin⁡(2x−π4)f''(x) = -8 \sin \left( 2x - \frac{\pi}{4} \right)

Prevojne tačke su rešenja jednačine f′′(x)=0, f''(x) = 0 , što se poklapa sa nulama funkcije:

x=π8+kπ2,k∈Zx = \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}

Funkcija je konveksna (okrenuta nagore, ∪ \cup ) kada je f′′(x)>0, f''(x) > 0 , što znači da je sin⁡(2x−π4)<0. \sin \left( 2x - \frac{\pi}{4} \right) < 0 . Ovo se poklapa sa intervalima gde je funkcija negativna:

x∈(5π8+kπ,9π8+kπ),k∈Zx \in \left( \frac{5\pi}{8} + k\pi, \frac{9\pi}{8} + k\pi \right), \quad k \in \mathbb{Z}

Funkcija je konkavna (okrenuta nadole, ∩ \cap ) kada je f′′(x)<0, f''(x) < 0 , što znači da je sin⁡(2x−π4)>0. \sin \left( 2x - \frac{\pi}{4} \right) > 0 . Ovo se poklapa sa intervalima gde je funkcija pozitivna:

x∈(π8+kπ,5π8+kπ),k∈Zx \in \left( \frac{\pi}{8} + k\pi, \frac{5\pi}{8} + k\pi \right), \quad k \in \mathbb{Z}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti