2745.

Osnovna svojstva trigonometrijskih funkcija

TEKST ZADATKA

Ispitati tok i nacrtati grafike funkcija (zadaci 848-857): f(x)=sin⁡x+3cos⁡x. f(x) = \sin x + \sqrt{3} \cos x .

REŠENJE ZADATKA

Da bismo olakšali ispitivanje funkcije, transformisaćemo je u oblik f(x)=Asin⁡(x+φ). f(x) = A \sin(x + \varphi) . Izvlačimo 2 ispred zagrade.

f(x)=2(12sin⁡x+32cos⁡x)f(x) = 2 \left( \frac{1}{2} \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x \right)

Primenjujemo adicionu formulu za sinus zbira, znajući da je cos⁡π3=12 \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} i sin⁡π3=32. \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} .

f(x)=2(sin⁡xcos⁡π3+cos⁡xsin⁡π3)=2sin⁡(x+π3)f(x) = 2 \left( \sin x \cos\frac{\pi}{3} + \cos x \sin\frac{\pi}{3} \right) = 2 \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right)

**1. Domen funkcije:** Funkcija je definisana za sve realne brojeve.

Df=RD_f = \mathbb{R}

**2. Parnost i periodičnost:** Funkcija nije ni parna ni neparna. Funkcija je periodična sa osnovnim periodom T=2π. T = 2\pi . Zbog toga ćemo funkciju ispitivati na intervalu [0,2π]. [0, 2\pi] .

T=2πT = 2\pi

**3. Nule funkcije:** Rešavamo jednačinu f(x)=0. f(x) = 0 .

2sin⁡(x+π3)=0  ⟹  x+π3=kπ,k∈Z2 \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = 0 \implies x + \frac{\pi}{3} = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Na intervalu [0,2π], [0, 2\pi] , nule funkcije se dobijaju za k=1 k = 1 i k=2. k = 2 .

x1=2π3,x2=5π3x_1 = \frac{2\pi}{3}, \quad x_2 = \frac{5\pi}{3}

**4. Znak funkcije:** Funkcija je pozitivna kada je sin⁡(x+π3)>0, \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) > 0 , a negativna kada je sin⁡(x+π3)<0. \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) < 0 .

f(x)>0 za x∈[0,2π3)∪(5π3,2π]f(x)<0 za x∈(2π3,5π3)\begin{aligned} f(x) > 0 &\text{ za } x \in \left[0, \frac{2\pi}{3}\right) \cup \left(\frac{5\pi}{3}, 2\pi\right] \\ f(x) < 0 &\text{ za } x \in \left(\frac{2\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}\right) \end{aligned}

**5. Prvi izvod, monotonost i ekstremne vrednosti:** Računamo prvi izvod funkcije.

f′(x)=2cos⁡(x+π3)f'(x) = 2 \cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right)

Stacionarne tačke dobijamo rešavanjem jednačine f′(x)=0. f'(x) = 0 .

cos⁡(x+π3)=0  ⟹  x+π3=π2+kπ,k∈Z\cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = 0 \implies x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Na intervalu [0,2π], [0, 2\pi] , stacionarne tačke su za k=0 k = 0 i k=1. k = 1 .

x1=π6,x2=7π6x_1 = \frac{\pi}{6}, \quad x_2 = \frac{7\pi}{6}

Ispitujemo znak prvog izvoda da bismo odredili intervale monotonosti na [0,2π]. [0, 2\pi] .

f′(x)>0  ⟹  x∈[0,π6)∪(7π6,2π](funkcija raste)f′(x)<0  ⟹  x∈(π6,7π6)(funkcija opada)\begin{aligned} f'(x) > 0 &\implies x \in \left[0, \frac{\pi}{6}\right) \cup \left(\frac{7\pi}{6}, 2\pi\right] \quad (\text{funkcija raste}) \\ f'(x) < 0 &\implies x \in \left(\frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}\right) \quad (\text{funkcija opada}) \end{aligned}

Na osnovu promene znaka prvog izvoda, određujemo ekstremne vrednosti.

Mmax=(π6,2)Mmin=(7π6,−2)\begin{aligned} M_{max} &= \left(\frac{\pi}{6}, 2\right) \\ M_{min} &= \left(\frac{7\pi}{6}, -2\right) \end{aligned}

**6. Drugi izvod, konveksnost i prevojne tačke:** Računamo drugi izvod funkcije.

f′′(x)=−2sin⁡(x+π3)=−f(x)f''(x) = -2 \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = -f(x)

Prevojne tačke su tamo gde je f′′(x)=0, f''(x) = 0 , što se poklapa sa nulama funkcije.

P1(2π3,0),P2(5π3,0)P_1\left(\frac{2\pi}{3}, 0\right), \quad P_2\left(\frac{5\pi}{3}, 0\right)

Znak drugog izvoda je suprotan znaku funkcije.

f′′(x)>0  ⟹  x∈(2π3,5π3)(funkcija je konveksna, ∪)f′′(x)<0  ⟹  x∈[0,2π3)∪(5π3,2π](funkcija je konkavna, ∩)\begin{aligned} f''(x) > 0 &\implies x \in \left(\frac{2\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}\right) \quad (\text{funkcija je konveksna, } \cup) \\ f''(x) < 0 &\implies x \in \left[0, \frac{2\pi}{3}\right) \cup \left(\frac{5\pi}{3}, 2\pi\right] \quad (\text{funkcija je konkavna, } \cap) \end{aligned}

**7. Asimptote:** Funkcija je neprekidna na celom skupu realnih brojeva i periodična, pa nema vertikalne, horizontalne ni kose asimptote.

**8. Grafik funkcije:** Grafik je sinusoida amplitude 2, pomerena ulevo duž x-ose za π3. \frac{\pi}{3} .

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti