2991. Trigonometrijske nejednačine

Koristimo formulu za kosinus dvostrukog ugla kako bismo sveli nejednačinu na istu trigonometrijsku funkciju:

\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x

Zamenjujemo ovu formulu u početnu nejednačinu:

\sin x + 1 - 2\sin^2 x > 1

Sređujemo nejednačinu oduzimanjem broja 1 sa obe strane:

\sin x - 2\sin^2 x > 0

Izvlačimo zajednički činilac $\sin x$ ispred zagrade:

\sin x (1 - 2\sin x) > 0

Ovo je kvadratna nejednačina po $\sin x .$ Njene nule su $\sin x = 0$ i $\sin x = \frac{1}{2} .$ Pošto je koeficijent uz kvadratni član negativan, nejednačina je zadovoljena kada se $\sin x$ nalazi između nula:

0 < \sin x < \frac{1}{2}

Ovu dvostruku nejednačinu možemo posmatrati kao sistem dve nejednačine:

\begin{cases} \sin x > 0 \\ \sin x < \frac{1}{2} \end{cases}

Rešavamo prvu nejednačinu $\sin x > 0 .$ Sinus je pozitivan u prvom i drugom kvadrantu, pa za osnovni period $[0, 2\pi)$ važi:

x \in (0, \pi)

Rešavamo drugu nejednačinu $\sin x < \frac{1}{2} .$ Na trigonometrijskom krugu, sinus je jednak $\frac{1}{2}$ za uglove $\frac{\pi}{6}$ i $\frac{5\pi}{6} .$ Sinus je manji od $\frac{1}{2}$ za:

x \in \left[0, \frac{\pi}{6}\right) \cup \left(\frac{5\pi}{6}, 2\pi\right)

Nalazimo presek rešenja ove dve nejednačine na intervalu $[0, 2\pi) :$

x \in \left(0, \frac{\pi}{6}\right) \cup \left(\frac{5\pi}{6}, \pi\right)

Dodajemo period $2k\pi$ kako bismo obuhvatili sva rešenja, gde je $k \in \mathbb{Z} :$

x \in \left(2k\pi, \frac{\pi}{6} + 2k\pi\right) \cup \left(\frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \pi + 2k\pi\right)

982