982

Koristimo formulu za kosinus dvostrukog ugla kako bismo sveli nejednačinu na istu trigonometrijsku funkciju:

Zamenjujemo ovu formulu u početnu nejednačinu:

Sređujemo nejednačinu oduzimanjem broja 1 sa obe strane:

Izvlačimo zajednički činilac $\sin x$ ispred zagrade:

Ovo je kvadratna nejednačina po $\sin x .$ Njene nule su $\sin x = 0$ i $\sin x = \frac{1}{2} .$ Pošto je koeficijent uz kvadratni član negativan, nejednačina je zadovoljena kada se $\sin x$ nalazi između nula:

Ovu dvostruku nejednačinu možemo posmatrati kao sistem dve nejednačine:

Rešavamo prvu nejednačinu $\sin x > 0 .$ Sinus je pozitivan u prvom i drugom kvadrantu, pa za osnovni period $[0, 2\pi)$ važi:

Rešavamo drugu nejednačinu $\sin x < \frac{1}{2} .$ Na trigonometrijskom krugu, sinus je jednak $\frac{1}{2}$ za uglove $\frac{\pi}{6}$ i $\frac{5\pi}{6} .$ Sinus je manji od $\frac{1}{2}$ za:

Nalazimo presek rešenja ove dve nejednačine na intervalu $[0, 2\pi) :$

Dodajemo period $2k\pi$ kako bismo obuhvatili sva rešenja, gde je $k \in \mathbb{Z} :$