2949. Trigonometrijske nejednačine

Prvo definišemo izraz pod apsolutnom vrednošću:

|\sin x| = \begin{cases} \sin x, & \text{za } \sin x \ge 0 \\ -\sin x, & \text{za } \sin x < 0 \end{cases}

Na osnovu osobina apsolutne vrednosti, data nejednačina se svodi na uniju dve jednostavnije trigonometrijske nejednačine:

\sin x > \frac{1}{2} \quad \lor \quad \sin x < -\frac{1}{2}

Rešavamo prvu nejednačinu $\sin x > \frac{1}{2} .$ Na trigonometrijskoj kružnici, vrednosti sinusa su veće od $\frac{1}{2}$ u prvom i drugom kvadrantu, između uglova $\frac{\pi}{6}$ i $\frac{5\pi}{6} .$

x \in \left( \frac{\pi}{6} + 2k\pi, \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \right), \quad k \in \mathbb{Z}

Zatim rešavamo drugu nejednačinu $\sin x < -\frac{1}{2} .$ Vrednosti sinusa su manje od $-\frac{1}{2}$ u trećem i četvrtom kvadrantu, između uglova $\frac{7\pi}{6}$ i $\frac{11\pi}{6} .$

x \in \left( \frac{7\pi}{6} + 2k\pi, \frac{11\pi}{6} + 2k\pi \right), \quad k \in \mathbb{Z}

Ukupno rešenje je unija rešenja ove dve nejednačine:

x \in \left( \frac{\pi}{6} + 2k\pi, \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \right) \cup \left( \frac{7\pi}{6} + 2k\pi, \frac{11\pi}{6} + 2k\pi \right), \quad k \in \mathbb{Z}

Primećujemo da se intervali razlikuju tačno za $\pi$ (polovinu punog kruga), pa rešenje možemo zapisati u kompaktnijem obliku dodavanjem perioda $k\pi$ umesto $2k\pi .$

x \in \left( \frac{\pi}{6} + k\pi, \frac{5\pi}{6} + k\pi \right), \quad k \in \mathbb{Z}

983