2950. Trigonometrijske nejednačine

Koristimo formulu za sinus dvostrukog ugla $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ da bismo transformisali desnu stranu nejednačine.

2 \sin 2x \cos x = 2 (2 \sin x \cos x) \cos x = 4 \sin x \cos^2 x

Zamenjujemo dobijeni izraz u početnu nejednačinu.

\cos^4 x + 4 \sin^2 x \ge 4 \sin x \cos^2 x

Prebacujemo sve članove na levu stranu nejednačine.

\cos^4 x - 4 \sin x \cos^2 x + 4 \sin^2 x \ge 0

Primećujemo da leva strana predstavlja kvadrat binoma. Možemo je zapisati u obliku $(a - b)^2$ gde je $a = \cos^2 x$ i $b = 2 \sin x .$

(\cos^2 x - 2 \sin x)^2 \ge 0

Kvadrat bilo kog realnog broja je uvek veći ili jednak nuli, pa ova nejednakost važi za svako realno $x .$

x \in \mathbb{R}

987.a