2944. Trigonometrijske nejednačine

Koristimo osnovni trigonometrijski identitet da izrazimo $\sin^2 x$ preko $\cos x :$

\sin^2 x = 1 - \cos^2 x

Zamenjujemo ovo u početnu nejednačinu:

(1 - \cos^2 x) + \cos x + 1 < 0

Sređujemo izraz i množimo sa $-1$ (što menja znak nejednakosti):

-\cos^2 x + \cos x + 2 < 0 \quad / \cdot (-1) \\ \cos^2 x - \cos x - 2 > 0

Uvodimo smenu $t = \cos x .$ Pošto je kosinus ograničena funkcija, važi $-1 \le t \le 1 .$ Nejednačina postaje:

t^2 - t - 2 > 0

Računamo korene kvadratne jednačine $t^2 - t - 2 = 0$ da bismo faktorisali izraz:

t_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} \\ t_1 = 2, \quad t_2 = -1

Kvadratni trinom zapisujemo u faktorisanom obliku:

(t - 2)(t + 1) > 0

Vraćamo smenu $t = \cos x :$

(\cos x - 2)(\cos x + 1) > 0

Znamo da je $\cos x \le 1$ za svako realno $x ,$ pa je izraz $\cos x - 2$ uvek negativan (jer je $\cos x - 2 \le -1 < 0$ ). Da bi proizvod bio pozitivan, drugi činilac mora takođe biti negativan:

\cos x + 1 < 0 \implies \cos x < -1

Međutim, vrednost kosinusa ne može biti manja od $-1$ jer je kodomen funkcije $\cos x$ interval $[-1, 1] .$ Zbog toga ova nejednačina nema rešenja.

x \in \emptyset

987.b