PrethodniSledeći
2934.

988.a

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačine: 1−sin⁡2x≤cos⁡x−sin⁡x,x∈[0,2π] 1 - \sin 2x \le \cos x - \sin x, x \in [0, 2\pi]

REŠENJE ZADATKA

Zapišimo početnu nejednačinu:

1−sin⁡2x≤cos⁡x−sin⁡x1 - \sin 2x \le \cos x - \sin x

Koristimo osnovni trigonometrijski identitet 1=sin⁡2x+cos⁡2x 1 = \sin^2 x + \cos^2 x i formulu za sinus dvostrukog ugla sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x. \sin 2x = 2\sin x \cos x . Zamenom u nejednačinu dobijamo:

sin⁡2x+cos⁡2x−2sin⁡xcos⁡x≤cos⁡x−sin⁡x\sin^2 x + \cos^2 x - 2\sin x \cos x \le \cos x - \sin x

Prepoznajemo kvadrat binoma na levoj strani nejednačine:

(cos⁡x−sin⁡x)2≤cos⁡x−sin⁡x(\cos x - \sin x)^2 \le \cos x - \sin x

Uvodimo smenu t=cos⁡x−sin⁡x. t = \cos x - \sin x . Nejednačina postaje:

t2≤tt^2 \le t

Rešavamo kvadratnu nejednačinu po t: t :

t2−t≤0  ⟹  t(t−1)≤0t^2 - t \le 0 \implies t(t - 1) \le 0

Rešenje ove nejednačine je t∈[0,1], t \in [0, 1] , odnosno:

0≤cos⁡x−sin⁡x≤10 \le \cos x - \sin x \le 1

Ovu dvostruku nejednakost možemo zapisati kao sistem dve nejednačine:

{cos⁡x−sin⁡x≥0cos⁡x−sin⁡x≤1\begin{cases} \cos x - \sin x \ge 0 \\ \cos x - \sin x \le 1 \end{cases}

Rešimo prvu nejednačinu: cos⁡x−sin⁡x≥0, \cos x - \sin x \ge 0 , odnosno cos⁡x≥sin⁡x. \cos x \ge \sin x . Na intervalu x∈[0,2π], x \in [0, 2\pi] , kosinus je veći ili jednak sinusu na intervalima:

x∈[0,π4]∪[5π4,2π]x \in \left[0, \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{5\pi}{4}, 2\pi\right]

Rešimo drugu nejednačinu: cos⁡x−sin⁡x≤1. \cos x - \sin x \le 1 . Pošto iz prve nejednačine znamo da je leva strana nenegativna, možemo kvadrirati obe strane:

(cos⁡x−sin⁡x)2≤12(\cos x - \sin x)^2 \le 1^2

Kvadriranjem i sređivanjem dobijamo:

cos⁡2x−2sin⁡xcos⁡x+sin⁡2x≤1\cos^2 x - 2\sin x \cos x + \sin^2 x \le 1

Primenom identiteta sin⁡2x+cos⁡2x=1 \sin^2 x + \cos^2 x = 1 i 2sin⁡xcos⁡x=sin⁡2x: 2\sin x \cos x = \sin 2x :

1−sin⁡2x≤1  ⟹  −sin⁡2x≤0  ⟹  sin⁡2x≥01 - \sin 2x \le 1 \implies -\sin 2x \le 0 \implies \sin 2x \ge 0

Rešavamo nejednačinu sin⁡2x≥0 \sin 2x \ge 0 za x∈[0,2π]. x \in [0, 2\pi] . To znači da 2x∈[0,4π]. 2x \in [0, 4\pi] . Sinus je nenegativan kada je argument u prvom ili drugom kvadrantu:

2x∈[0,π]∪[2π,3π]∪{4π}2x \in [0, \pi] \cup [2\pi, 3\pi] \cup \{4\pi\}

Deljenjem sa 2 dobijamo rešenje za x: x :

x∈[0,π2]∪[π,3π2]∪{2π}x \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\pi, \frac{3\pi}{2}\right] \cup \{2\pi\}

Konačno rešenje je presek rešenja prve i druge nejednačine:

x∈([0,π4]∪[5π4,2π])∩([0,π2]∪[π,3π2]∪{2π})x \in \left( \left[0, \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{5\pi}{4}, 2\pi\right] \right) \cap \left( \left[0, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\pi, \frac{3\pi}{2}\right] \cup \{2\pi\} \right)

Određivanjem preseka ova dva skupa dobijamo konačno rešenje zadatka:

x∈[0,π4]∪[5π4,3π2]∪{2π}x \in \left[0, \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right] \cup \{2\pi\}

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu