988.a

Zapišimo početnu nejednačinu:

Koristimo osnovni trigonometrijski identitet $1 = \sin^2 x + \cos^2 x$ i formulu za sinus dvostrukog ugla $\sin 2x = 2\sin x \cos x .$ Zamenom u nejednačinu dobijamo:

Prepoznajemo kvadrat binoma na levoj strani nejednačine:

Uvodimo smenu $t = \cos x - \sin x .$ Nejednačina postaje:

Rešavamo kvadratnu nejednačinu po $t :$

Rešenje ove nejednačine je $t \in [0, 1] ,$ odnosno:

Ovu dvostruku nejednakost možemo zapisati kao sistem dve nejednačine:

Rešimo prvu nejednačinu: $\cos x - \sin x \ge 0 ,$ odnosno $\cos x \ge \sin x .$ Na intervalu $x \in [0, 2\pi] ,$ kosinus je veći ili jednak sinusu na intervalima:

Rešimo drugu nejednačinu: $\cos x - \sin x \le 1 .$ Pošto iz prve nejednačine znamo da je leva strana nenegativna, možemo kvadrirati obe strane:

Kvadriranjem i sređivanjem dobijamo:

Primenom identiteta $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ i $2\sin x \cos x = \sin 2x :$

Rešavamo nejednačinu $\sin 2x \ge 0$ za $x \in [0, 2\pi] .$ To znači da $2x \in [0, 4\pi] .$ Sinus je nenegativan kada je argument u prvom ili drugom kvadrantu:

Deljenjem sa 2 dobijamo rešenje za $x :$

Konačno rešenje je presek rešenja prve i druge nejednačine:

Određivanjem preseka ova dva skupa dobijamo konačno rešenje zadatka: