2932. Trigonometrijske nejednačine

Koristimo osnovni trigonometrijski identitet $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ i menjamo desnu stranu nejednačine:

2 \sin^2 x + \sqrt{3} \sin x \cos x + \cos^2 x \ge \sin^2 x + \cos^2 x

Oduzimamo $\sin^2 x + \cos^2 x$ sa obe strane nejednačine:

\sin^2 x + \sqrt{3} \sin x \cos x \ge 0

Primenjujemo formule za dvostruki ugao $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ i $\sin x \cos x = \frac{\sin 2x}{2} :$

\frac{1 - \cos 2x}{2} + \sqrt{3} \frac{\sin 2x}{2} \ge 0

Množimo nejednačinu sa 2 i grupišemo članove:

1 - \cos 2x + \sqrt{3} \sin 2x \ge 0

Prebacujemo 1 na desnu stranu:

\sqrt{3} \sin 2x - \cos 2x \ge -1

Delimo celu nejednačinu sa 2 kako bismo iskoristili adicionu formulu:

\frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2x - \frac{1}{2} \cos 2x \ge -\frac{1}{2}

Prepoznajemo vrednosti trigonometrijskih funkcija za ugao $\frac{\pi}{6}$ ( $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} ,$ $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$ ) i primenjujemo formulu $\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B :$

\sin\left(2x - \frac{\pi}{6}\right) \ge -\frac{1}{2}

Rešavamo osnovnu trigonometrijsku nejednačinu. Sinus je veći ili jednak $-\frac{1}{2}$ na intervalu:

-\frac{\pi}{6} + 2k\pi \le 2x - \frac{\pi}{6} \le \frac{7\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Dodajemo $\frac{\pi}{6}$ svim delovima nejednakosti:

2k\pi \le 2x \le \frac{8\pi}{6} + 2k\pi

Skraćujemo razlomak na desnoj strani:

2k\pi \le 2x \le \frac{4\pi}{3} + 2k\pi

Delimo celu nejednakost sa 2 da bismo dobili rešenje za $x :$

k\pi \le x \le \frac{2\pi}{3} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Konačno rešenje možemo zapisati u obliku unije intervala:

x \in \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} \left[ k\pi, \frac{2\pi}{3} + k\pi \right]

985