2503. Trigonometrijske funkcije dvostrukog ugla

Prvo računamo $\cos^2 x$ koristeći osnovni trigonometrijski identitet $\sin^2 x + \cos^2 x = 1 .$

\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - \left( \frac{m - n}{m + n} \right)^2

Sređujemo izraz za $\cos^2 x$ svođenjem na zajednički imenilac.

\cos^2 x = \frac{(m + n)^2 - (m - n)^2}{(m + n)^2} = \frac{m^2 + 2mn + n^2 - (m^2 - 2mn + n^2)}{(m + n)^2}

Nakon skraćivanja sličnih članova, dobijamo vrednost za $\cos^2 x .$

\cos^2 x = \frac{4mn}{(m + n)^2}

Definišemo apsolutnu vrednost za $\cos x$ jer je $\cos x = \pm \sqrt{\cos^2 x} .$ Kako je $mn > 0 ,$ koren je definisan.

|\cos x| = \begin{cases} \frac{2\sqrt{mn}}{m + n}, & \text{za } \cos x \ge 0 \\ -\frac{2\sqrt{mn}}{m + n}, & \text{za } \cos x < 0 \end{cases}

Računamo $\sin 2x$ koristeći formulu za dvostruki ugao $\sin 2x = 2 \sin x \cos x .$ Primetimo da predznak zavisi od kvadranta u kojem se nalazi ugao $x .$

\sin 2x = 2 \cdot \frac{m - n}{m + n} \cdot \left( \pm \frac{2\sqrt{mn}}{m + n} \right) = \pm \frac{4(m - n)\sqrt{mn}}{(m + n)^2}

Računamo $\cos 2x$ koristeći formulu $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x .$

\cos 2x = \frac{4mn}{(m + n)^2} - \frac{(m - n)^2}{(m + n)^2}

Sređujemo brojilac izraza za $\cos 2x .$

\cos 2x = \frac{4mn - (m^2 - 2mn + n^2)}{(m + n)^2} = \frac{4mn - m^2 + 2mn - n^2}{(m + n)^2}

Izvlačimo zajednički faktor u brojiocu kako bismo dobili konačan oblik.

\cos 2x = \frac{6mn - m^2 - n^2}{(m + n)^2} = -\frac{m^2 - 6mn + n^2}{(m + n)^2}

688