2503.

Trigonometrijske funkcije dvostrukog ugla

TEKST ZADATKA

Odrediti sin⁡2x \sin 2x i cos⁡2x, \cos 2x , ako je sin⁡x=m−nm+n, \sin x = \frac{m - n}{m + n} , m+n≠0, m + n \neq 0 , mn>0. mn > 0 .

REŠENJE ZADATKA

Prvo računamo cos⁡2x \cos^2 x koristeći osnovni trigonometrijski identitet sin⁡2x+cos⁡2x=1. \sin^2 x + \cos^2 x = 1 .

cos⁡2x=1−sin⁡2x=1−(m−nm+n)2\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - \left( \frac{m - n}{m + n} \right)^2

Sređujemo izraz za cos⁡2x \cos^2 x svođenjem na zajednički imenilac.

cos⁡2x=(m+n)2−(m−n)2(m+n)2=m2+2mn+n2−(m2−2mn+n2)(m+n)2\cos^2 x = \frac{(m + n)^2 - (m - n)^2}{(m + n)^2} = \frac{m^2 + 2mn + n^2 - (m^2 - 2mn + n^2)}{(m + n)^2}

Nakon skraćivanja sličnih članova, dobijamo vrednost za cos⁡2x. \cos^2 x .

cos⁡2x=4mn(m+n)2\cos^2 x = \frac{4mn}{(m + n)^2}

Definišemo apsolutnu vrednost za cos⁡x \cos x jer je cos⁡x=±cos⁡2x. \cos x = \pm \sqrt{\cos^2 x} . Kako je mn>0, mn > 0 , koren je definisan.

∣cos⁡x∣={2mnm+n,za cos⁡x≥0−2mnm+n,za cos⁡x<0|\cos x| = \begin{cases} \frac{2\sqrt{mn}}{m + n}, & \text{za } \cos x \ge 0 \\ -\frac{2\sqrt{mn}}{m + n}, & \text{za } \cos x < 0 \end{cases}

Računamo sin⁡2x \sin 2x koristeći formulu za dvostruki ugao sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x. \sin 2x = 2 \sin x \cos x . Primetimo da predznak zavisi od kvadranta u kojem se nalazi ugao x. x .

sin⁡2x=2⋅m−nm+n⋅(±2mnm+n)=±4(m−n)mn(m+n)2\sin 2x = 2 \cdot \frac{m - n}{m + n} \cdot \left( \pm \frac{2\sqrt{mn}}{m + n} \right) = \pm \frac{4(m - n)\sqrt{mn}}{(m + n)^2}

Računamo cos⁡2x \cos 2x koristeći formulu cos⁡2x=cos⁡2x−sin⁡2x. \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x .

cos⁡2x=4mn(m+n)2−(m−n)2(m+n)2\cos 2x = \frac{4mn}{(m + n)^2} - \frac{(m - n)^2}{(m + n)^2}

Sređujemo brojilac izraza za cos⁡2x. \cos 2x .

cos⁡2x=4mn−(m2−2mn+n2)(m+n)2=4mn−m2+2mn−n2(m+n)2\cos 2x = \frac{4mn - (m^2 - 2mn + n^2)}{(m + n)^2} = \frac{4mn - m^2 + 2mn - n^2}{(m + n)^2}

Izvlačimo zajednički faktor u brojiocu kako bismo dobili konačan oblik.

cos⁡2x=6mn−m2−n2(m+n)2=−m2−6mn+n2(m+n)2\cos 2x = \frac{6mn - m^2 - n^2}{(m + n)^2} = -\frac{m^2 - 6mn + n^2}{(m + n)^2}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti