Jednačina kvadrat sinusa x plus kvadrat sinusa 2x

Koristićemo formulu za polovinu ugla $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ i osnovni trigonometrijski identitet $\sin^2 2x = 1 - \cos^2 2x$ kako bismo jednačinu sveli na funkciju od $\cos 2x .$

\frac{1 - \cos 2x}{2} + 1 - \cos^2 2x = 1

Množenjem jednačine sa 2 i prebacivanjem svih članova na jednu stranu, dobijamo kvadratnu jednačinu po $\cos 2x .$

1 - \cos 2x + 2 - 2\cos^2 2x = 2 \\ -2\cos^2 2x - \cos 2x + 1 = 0 \\ 2\cos^2 2x + \cos 2x - 1 = 0

Uvodimo smenu $t = \cos 2x$ kako bismo dobili algebarsku jednačinu.

2t^2 + t - 1 = 0

Rešavamo dobijenu kvadratnu jednačinu po $t .$

t_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{-1 \pm 3}{4}

Dobijamo dva rešenja za $t .$

t_1 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \quad t_2 = \frac{-4}{4} = -1

Vraćamo smenu za prvi slučaj $t_1 = \frac{1}{2}$ i rešavamo osnovnu trigonometrijsku jednačinu.

\cos 2x = \frac{1}{2}

Rešavamo po $x .$

2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi \Rightarrow x = \pm \frac{\pi}{6} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Vraćamo smenu za drugi slučaj $t_2 = -1$ i rešavamo drugu osnovnu trigonometrijsku jednačinu.

\cos 2x = -1

Rešavamo po $x .$

2x = \pi + 2k\pi \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Konačno rešenje je unija svih dobijenih rešenja.

x \in \left\{ \pm \frac{\pi}{6} + k\pi \right\} \cup \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi \right\}, \quad k \in \mathbb{Z}

Započni učenje

Online časovi

922

Beleške