2847. Trigonometrijske jednačine

Koristimo formulu za kosinus dvostrukog ugla da bismo jednačinu sveli na jednu trigonometrijsku funkciju:

\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x

Zamenjujemo ovo u polaznu jednačinu:

2 \sin x + 3 (1 - 2 \sin^2 x) - 3 = 0

Oslobađamo se zagrade i sređujemo izraz:

2 \sin x + 3 - 6 \sin^2 x - 3 = 0

Nakon skraćivanja konstanti dobijamo:

2 \sin x - 6 \sin^2 x = 0

Izvlačimo zajednički činilac $2 \sin x$ ispred zagrade:

2 \sin x (1 - 3 \sin x) = 0

Proizvod je jednak nuli ako je bar jedan od činilaca jednak nuli. Dobijamo dve jednačine:

\sin x = 0 \quad \lor \quad 1 - 3 \sin x = 0

Rešavamo prvu jednačinu:

\sin x = 0

Rešenje prve jednačine je:

x = k\pi, \quad k \in \mathbf{Z}

Rešavamo drugu jednačinu:

1 - 3 \sin x = 0

Izražavamo $\sin x :$

\sin x = \frac{1}{3}

Rešenje druge jednačine je:

x = (-1)^n \arcsin \frac{1}{3} + n\pi, \quad n \in \mathbf{Z}

Konačno rešenje je unija rešenja ove dve jednačine:

x = k\pi \quad \lor \quad x = (-1)^n \arcsin \frac{1}{3} + n\pi, \quad k, n \in \mathbf{Z}

2847.Trigonometrijske jednačine