2846. Trigonometrijske jednačine

Koristimo osobinu kosinusne funkcije: iz $\cos \alpha = \cos \beta$ sledi da je $\alpha = \beta + 2k\pi$ ili $\alpha = -\beta + 2k\pi ,$ gde je $k \in \mathbf{Z} .$

3x = x + 2k\pi \quad \lor \quad 3x = -x + 2k\pi

Rešavamo prvu jednačinu tako što prebacimo $x$ na levu stranu.

2x = 2k\pi

Delimo jednačinu sa 2 da bismo izrazili $x .$

x = k\pi

Rešavamo drugu jednačinu tako što prebacimo $-x$ na levu stranu.

4x = 2k\pi

Delimo jednačinu sa 4 da bismo izrazili $x .$

x = \frac{k\pi}{2}

Primetimo da su rešenja prve jednačine ( $x = k\pi$ ) već obuhvaćena rešenjima druge jednačine ( $x = \frac{k\pi}{2}$ ) za parne vrednosti $k .$ Zato je opšte rešenje jednačine:

x = \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbf{Z}

Tražimo rešenja koja pripadaju datom intervalu $[0, 2\pi] .$ Postavljamo uslov:

0 \le \frac{k\pi}{2} \le 2\pi

Množimo nejednakost sa $\frac{2}{\pi}$ kako bismo izolovali $k .$

0 \le k \le 4

Pošto je $k$ ceo broj, moguće vrednosti su:

k \in \{0, 1, 2, 3, 4\}

Računamo vrednosti $x$ za svako dobijeno $k$ i dobijamo konačan skup rešenja.

x \in \left\{0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi\right\}

903