2844. Trigonometrijske jednačine

Koristimo trigonometrijski identitet za polovinu ugla kako bismo izrazili $2 \sin^2 \frac{x}{2}$ preko $\cos x .$

2 \sin^2 \frac{x}{2} = 1 - \cos x

Zamenjujemo dobijeni izraz u početnu jednačinu.

\cos x - (1 - \cos x) = 0

Sređujemo jednačinu tako što oslobađamo zagradu i grupišemo slične članove.

2 \cos x - 1 = 0

Izražavamo $\cos x$ iz jednačine.

\cos x = \frac{1}{2}

Rešavamo osnovnu trigonometrijsku jednačinu. Opšte rešenje je dato formulom $x = \pm \arccos a + 2k\pi .$

x = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbf{Z}

Sada tražimo rešenja koja pripadaju zadatom intervalu $(-\pi, 4\pi] .$ Razdvojićemo opšte rešenje na dva niza i proveriti vrednosti za različite cele brojeve $k .$

x_1 = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{i} \quad x_2 = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi

Za prvi niz rešenja $x_1 = \frac{\pi}{3} + 2k\pi ,$ proveravamo vrednosti za $k .$

\begin{aligned} k &= 0 \implies x = \frac{\pi}{3} \in (-\pi, 4\pi] \\ k &= 1 \implies x = \frac{7\pi}{3} \in (-\pi, 4\pi] \\ k &= 2 \implies x = \frac{13\pi}{3} \notin (-\pi, 4\pi] \\ k &= -1 \implies x = -\frac{5\pi}{3} \notin (-\pi, 4\pi] \end{aligned}

Za drugi niz rešenja $x_2 = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi ,$ takođe proveravamo vrednosti za $k .$

\begin{aligned} k &= 0 \implies x = -\frac{\pi}{3} \in (-\pi, 4\pi] \\ k &= 1 \implies x = \frac{5\pi}{3} \in (-\pi, 4\pi] \\ k &= 2 \implies x = \frac{11\pi}{3} \in (-\pi, 4\pi] \\ k &= 3 \implies x = \frac{17\pi}{3} \notin (-\pi, 4\pi] \\ k &= -1 \implies x = -\frac{7\pi}{3} \notin (-\pi, 4\pi] \end{aligned}

Konačan skup rešenja dobijamo objedinjavanjem svih rešenja koja pripadaju zadatom intervalu.

x \in \left\{ -\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}, \frac{11\pi}{3} \right\}

904