2840.

Trigonometrijske jednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačine (zadaci 902-916): 2sin⁡4x−2cos⁡4x−1=0 2 \sin^4 x - 2 \cos^4 x - 1 = 0 na intervalu [−π,π]. [-\pi, \pi] .

2sin⁡4x−2cos⁡4x−1=02 \sin^4 x - 2 \cos^4 x - 1 = 0
REŠENJE ZADATKA

Izvlačimo zajednički činilac 2 2 iz prva dva člana jednačine:

2(sin⁡4x−cos⁡4x)−1=02(\sin^4 x - \cos^4 x) - 1 = 0

Primenjujemo formulu za razliku kvadrata na izraz u zagradi:

2(sin⁡2x−cos⁡2x)(sin⁡2x+cos⁡2x)−1=02(\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x) - 1 = 0

Koristimo osnovni trigonometrijski identitet sin⁡2x+cos⁡2x=1: \sin^2 x + \cos^2 x = 1 :

2(sin⁡2x−cos⁡2x)⋅1−1=02(\sin^2 x - \cos^2 x) \cdot 1 - 1 = 0

Znamo da je formula za kosinus dvostrukog ugla cos⁡2x=cos⁡2x−sin⁡2x, \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x , pa važi sin⁡2x−cos⁡2x=−cos⁡2x. \sin^2 x - \cos^2 x = -\cos 2x . Zamenjujemo ovo u jednačinu:

−2cos⁡2x−1=0-2\cos 2x - 1 = 0

Rešavamo jednačinu po cos⁡2x: \cos 2x :

cos⁡2x=−12\cos 2x = -\frac{1}{2}

Opšte rešenje za 2x 2x je:

2x=±2π3+2kπ,k∈Z2x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbf{Z}

Delimo jednačinu sa 2 2 da bismo dobili x: x :

x=±π3+kπ,k∈Zx = \pm \frac{\pi}{3} + k\pi, \quad k \in \mathbf{Z}

Sada tražimo rešenja koja pripadaju zadatom intervalu [−π,π]. [-\pi, \pi] . Za x=π3+kπ, x = \frac{\pi}{3} + k\pi , odgovarajuće vrednosti dobijamo za k=−1 k = -1 i k=0: k = 0 :

k=−1  ⟹  x=π3−π=−2π3k=0  ⟹  x=π3\begin{aligned} k = -1 &\implies x = \frac{\pi}{3} - \pi = -\frac{2\pi}{3} \\ k = 0 &\implies x = \frac{\pi}{3} \end{aligned}

Za x=−π3+kπ, x = -\frac{\pi}{3} + k\pi , odgovarajuće vrednosti u intervalu [−π,π] [-\pi, \pi] dobijamo za k=0 k = 0 i k=1: k = 1 :

k=0  ⟹  x=−π3k=1  ⟹  x=−π3+π=2π3\begin{aligned} k = 0 &\implies x = -\frac{\pi}{3} \\ k = 1 &\implies x = -\frac{\pi}{3} + \pi = \frac{2\pi}{3} \end{aligned}

Konačan skup rešenja na intervalu [−π,π] [-\pi, \pi] je:

x∈{−2π3,−π3,π3,2π3}x \in \left\{ -\frac{2\pi}{3}, -\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3} \right\}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti