2839.

Trigonometrijske jednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačine (zadaci 902-916):

3cos⁡x+2sin⁡2x=03 \cos x + 2 \sin 2x = 0
REŠENJE ZADATKA

Primenjujemo formulu za sinus dvostrukog ugla, sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x. \sin 2x = 2 \sin x \cos x .

3cos⁡x+2(2sin⁡xcos⁡x)=03 \cos x + 2 (2 \sin x \cos x) = 0

Sređujemo izraz množenjem konstanti.

3cos⁡x+4sin⁡xcos⁡x=03 \cos x + 4 \sin x \cos x = 0

Izvlačimo zajednički činilac cos⁡x \cos x ispred zagrade.

cos⁡x(3+4sin⁡x)=0\cos x (3 + 4 \sin x) = 0

Proizvod je jednak nuli kada je bar jedan od činilaca jednak nuli. Dobijamo dve jednačine.

cos⁡x=0∨3+4sin⁡x=0\cos x = 0 \quad \lor \quad 3 + 4 \sin x = 0

Rešavamo prvu jednačinu cos⁡x=0. \cos x = 0 .

x=π2+kπ,k∈Zx = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbf{Z}

Rešavamo drugu jednačinu 3+4sin⁡x=0. 3 + 4 \sin x = 0 .

4sin⁡x=−3  ⟹  sin⁡x=−344 \sin x = -3 \implies \sin x = -\frac{3}{4}

Primenjujemo formulu za opšte rešenje jednačine sin⁡x=a. \sin x = a . Kako je arcsin⁡(−x)=−arcsin⁡x, \arcsin(-x) = -\arcsin x , dobijamo:

x=(−1)narcsin⁡(−34)+nπ=(−1)n+1arcsin⁡(34)+nπ,n∈Zx = (-1)^n \arcsin\left(-\frac{3}{4}\right) + n\pi = (-1)^{n+1} \arcsin\left(\frac{3}{4}\right) + n\pi, \quad n \in \mathbf{Z}

Konačna rešenja polazne jednačine su:

x1=π2+kπ,x2=(−1)n+1arcsin⁡(34)+nπ,k,n∈Zx_1 = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad x_2 = (-1)^{n+1} \arcsin\left(\frac{3}{4}\right) + n\pi, \quad k, n \in \mathbf{Z}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti