2841. Trigonometrijske jednačine

Koristimo formulu za kosinus dvostrukog ugla, $1 + \cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2} ,$ i zamenjujemo je u početnu jednačinu:

\cos \frac{x}{2} = 2 \cos^2 \frac{x}{2}

Prebacujemo sve članove na jednu stranu jednačine:

2 \cos^2 \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2} = 0

Izvlačimo zajednički faktor $\cos \frac{x}{2}$ ispred zagrade:

\cos \frac{x}{2} \left( 2 \cos \frac{x}{2} - 1 \right) = 0

Proizvod je jednak nuli ako je bar jedan od činilaca jednak nuli. Dobijamo dve jednačine:

\cos \frac{x}{2} = 0 \quad \text{ili} \quad 2 \cos \frac{x}{2} - 1 = 0

Rešavamo prvu jednačinu:

\cos \frac{x}{2} = 0

Opšte rešenje za ovu jednačinu je:

\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbf{Z}

Množenjem sa $2$ dobijamo prvo rešenje:

x = \pi + 2k\pi, \quad k \in \mathbf{Z}

Sada rešavamo drugu jednačinu:

2 \cos \frac{x}{2} - 1 = 0

Izražavamo $\cos \frac{x}{2} :$

\cos \frac{x}{2} = \frac{1}{2}

Opšte rešenje za ovu jednačinu je:

\frac{x}{2} = \pm \frac{\pi}{3} + 2m\pi, \quad m \in \mathbf{Z}

Množenjem sa $2$ dobijamo drugo rešenje:

x = \pm \frac{2\pi}{3} + 4m\pi, \quad m \in \mathbf{Z}

Konačno rešenje je unija dobijenih rešenja:

x \in \{ \pi + 2k\pi \mid k \in \mathbf{Z} \} \cup \left\{ \pm \frac{2\pi}{3} + 4m\pi \mid m \in \mathbf{Z} \right\}

2841.Trigonometrijske jednačine