Jednačina 4 sin 2x cos 2x plus 1 na intervalu

Koristimo formulu za sinus dvostrukog ugla $\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha .$ Jednačinu možemo prepisati izdvajanjem dvojke:

2 \cdot (2 \sin 2x \cos 2x) + 1 = 0

Primenom formule na izraz u zagradi dobijamo:

2 \sin 4x + 1 = 0

Izražavamo $\sin 4x :$

\sin 4x = -\frac{1}{2}

Opšte rešenje jednačine $\sin \theta = a$ se može zapisati kao unija dva skupa rešenja. Za $a = -\frac{1}{2} ,$ imamo $\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{6} .$ Prvi skup rešenja je:

4x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbf{Z}

Deljenjem sa 4 dobijamo prvo rešenje za $x :$

x = -\frac{\pi}{24} + \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbf{Z}

Drugi skup rešenja dobijamo iz formule $4x = -\arcsin a + (2k+1)\pi :$

4x = \frac{\pi}{6} + (2k+1)\pi = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbf{Z}

Deljenjem sa 4 dobijamo drugo rešenje za $x :$

x = \frac{7\pi}{24} + \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbf{Z}

Sada tražimo rešenja koja pripadaju zadatom intervalu $x \in (0, \pi) .$ Za prvu grupu rešenja $x = -\frac{\pi}{24} + \frac{k\pi}{2} ,$ zamenom celih brojeva za $k$ dobijamo:

\begin{aligned} k=1 &\implies x = -\frac{\pi}{24} + \frac{\pi}{2} = \frac{11\pi}{24} \\ k=2 &\implies x = -\frac{\pi}{24} + \pi = \frac{23\pi}{24} \end{aligned}

Za drugu grupu rešenja $x = \frac{7\pi}{24} + \frac{k\pi}{2} ,$ zamenom celih brojeva za $k$ dobijamo:

\begin{aligned} k=0 &\implies x = \frac{7\pi}{24} \\ k=1 &\implies x = \frac{7\pi}{24} + \frac{\pi}{2} = \frac{19\pi}{24} \end{aligned}

Konačan skup rešenja na intervalu $(0, \pi)$ je:

x \in \left\{ \frac{7\pi}{24}, \frac{11\pi}{24}, \frac{19\pi}{24}, \frac{23\pi}{24} \right\}

Započni učenje

Online časovi

902

Beleške