2917.

Trigonometrijske nejednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačine: sin⁡x−cos⁡x<0. \sin x - \cos x < 0.

REŠENJE ZADATKA

Transformišemo izraz na levoj strani množenjem i deljenjem sa 2. \sqrt{2} .

2(22sin⁡x−22cos⁡x)<0\sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x - \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x \right) < 0

Znamo da je cos⁡π4=22 \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} i sin⁡π4=22, \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} , pa zamenjujemo ove vrednosti u izraz.

2(sin⁡xcos⁡π4−cos⁡xsin⁡π4)<0\sqrt{2} \left( \sin x \cos\frac{\pi}{4} - \cos x \sin\frac{\pi}{4} \right) < 0

Primenjujemo adicionu formulu za sinus razlike uglova: sin⁡(α−β)=sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡β. \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta .

2sin⁡(x−π4)<0\sqrt{2} \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) < 0

Delimo nejednačinu sa pozitivnim brojem 2. \sqrt{2} .

sin⁡(x−π4)<0\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) < 0

Sinus je negativan u trećem i četvrtom kvadrantu, odnosno za uglove strogo između π \pi i 2π 2\pi (uz dodatak perioda 2kπ 2k\pi ).

π+2kπ<x−π4<2π+2kπ,k∈Z\pi + 2k\pi < x - \frac{\pi}{4} < 2\pi + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Dodajemo π4 \frac{\pi}{4} svim stranama nejednakosti kako bismo izolovali x. x .

π+π4+2kπ<x<2π+π4+2kπ,k∈Z\pi + \frac{\pi}{4} + 2k\pi < x < 2\pi + \frac{\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Sabiramo vrednosti na krajevima nejednakosti.

5π4+2kπ<x<9π4+2kπ,k∈Z\frac{5\pi}{4} + 2k\pi < x < \frac{9\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Zapisujemo konačno rešenje u obliku intervala.

x∈⋃k∈Z(5π4+2kπ,9π4+2kπ)x \in \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} \left( \frac{5\pi}{4} + 2k\pi, \frac{9\pi}{4} + 2k\pi \right)

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti