Trigonometrijska nejednačina: sin x − cos x < 0

Transformišemo izraz na levoj strani množenjem i deljenjem sa $\sqrt{2} .$

\sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x - \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x \right) < 0

Znamo da je $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ i $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} ,$ pa zamenjujemo ove vrednosti u izraz.

\sqrt{2} \left( \sin x \cos\frac{\pi}{4} - \cos x \sin\frac{\pi}{4} \right) < 0

Primenjujemo adicionu formulu za sinus razlike uglova: $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta .$

\sqrt{2} \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) < 0

Delimo nejednačinu sa pozitivnim brojem $\sqrt{2} .$

\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) < 0

Sinus je negativan u trećem i četvrtom kvadrantu, odnosno za uglove strogo između $\pi$ i $2\pi$ (uz dodatak perioda $2k\pi$ ).

\pi + 2k\pi < x - \frac{\pi}{4} < 2\pi + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Dodajemo $\frac{\pi}{4}$ svim stranama nejednakosti kako bismo izolovali $x .$

\pi + \frac{\pi}{4} + 2k\pi < x < 2\pi + \frac{\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Sabiramo vrednosti na krajevima nejednakosti.

\frac{5\pi}{4} + 2k\pi < x < \frac{9\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Zapisujemo konačno rešenje u obliku intervala.

x \in \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} \left( \frac{5\pi}{4} + 2k\pi, \frac{9\pi}{4} + 2k\pi \right)

973.b