2919. Trigonometrijske nejednačine

Primetimo da leva strana nejednačine predstavlja razvijeni oblik adicionog pravila za sinus zbira uglova: $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta .$

\sin x \cos \frac{\pi}{6} + \cos x \sin \frac{\pi}{6} = \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right)

Zamenom u početnu nejednačinu dobijamo jednostavniji oblik:

\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) < \frac{1}{2}

Uvodimo smenu $t = x + \frac{\pi}{6} .$ Nejednačina postaje:

\sin t < \frac{1}{2}

Rešavamo osnovnu trigonometrijsku nejednačinu. Na trigonometrijskoj kružnici, sinus je manji od $\frac{1}{2}$ za uglove koji se nalaze između $\frac{5\pi}{6}$ i $\frac{13\pi}{6}$ (gde je $\frac{13\pi}{6} = 2\pi + \frac{\pi}{6}$ ). Uzimajući u obzir periodičnost funkcije sinus, rešenje za $t$ je:

\frac{5\pi}{6} + 2k\pi < t < \frac{13\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Vraćamo smenu $t = x + \frac{\pi}{6}$ u dobijeno rešenje:

\frac{5\pi}{6} + 2k\pi < x + \frac{\pi}{6} < \frac{13\pi}{6} + 2k\pi

Oduzimamo $\frac{\pi}{6}$ od svih delova nejednakosti kako bismo izrazili $x :$

\frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{6} + 2k\pi < x < \frac{13\pi}{6} - \frac{\pi}{6} + 2k\pi

Sređivanjem izraza dobijamo:

\frac{4\pi}{6} + 2k\pi < x < \frac{12\pi}{6} + 2k\pi

Skraćivanjem razlomaka dolazimo do konačnog rešenja:

\frac{2\pi}{3} + 2k\pi < x < 2\pi + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Rešenje možemo zapisati i u obliku intervala:

x \in \left(\frac{2\pi}{3} + 2k\pi, 2\pi + 2k\pi\right), \quad k \in \mathbb{Z}

974