Nejednačina sa sinusom, kvadratom i kubom sinusa

Uvodimo smenu $t = \sin x .$ Pošto je funkcija sinus ograničena, važi $t \in [-1, 1] .$ Nejednačina postaje:

t + t^2 + t^3 > 0

Izvlačimo zajednički činilac $t$ ispred zagrade:

t(1 + t + t^2) > 0

Analiziramo kvadratni trinom $1 + t + t^2 .$ Računamo njegovu diskriminantu:

D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3

Pošto je diskriminanta manja od nule ( $D < 0$ ) i koeficijent uz $t^2$ je pozitivan ( $a = 1 > 0$ ), kvadratni trinom je uvek pozitivan za svako realno $t :$

1 + t + t^2 > 0, \quad \forall t \in \mathbb{R}

Kako je izraz u zagradi uvek pozitivan, znak celog proizvoda zavisi samo od $t .$ Da bi proizvod bio veći od nule, mora važiti:

t > 0

Vraćamo smenu $t = \sin x :$

\sin x > 0

Rešavamo osnovnu trigonometrijsku nejednačinu. Funkcija sinus je pozitivna u prvom i drugom kvadrantu, pa je konačno rešenje:

x \in (2k\pi, \pi + 2k\pi), \quad k \in \mathbb{Z}

Započni učenje

Online časovi

975

Beleške