2946. Trigonometrijske nejednačine

Uvodimo smenu $t = \sin x$ i dobijamo kvadratnu nejednačinu:

t^2 - \frac{\sqrt{3} - 1}{2} t - \frac{\sqrt{3}}{4} < 0

Rešavamo odgovarajuću kvadratnu jednačinu:

t^2 - \frac{\sqrt{3} - 1}{2} t - \frac{\sqrt{3}}{4} = 0

Računamo diskriminantu:

D = \left( -\frac{\sqrt{3} - 1}{2} \right)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \left( -\frac{\sqrt{3}}{4} \right) = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{4} + \sqrt{3} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{4}

Primetimo da se brojilac može zapisati kao kvadrat binoma:

4 + 2\sqrt{3} = 1 + 2\sqrt{3} + 3 = (1 + \sqrt{3})^2

Nalazimo rešenja kvadratne jednačine:

t_{1,2} = \frac{\frac{\sqrt{3} - 1}{2} \pm \frac{\sqrt{3} + 1}{2}}{2}

Rešenja su:

t_1 = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad t_2 = -\frac{1}{2}

Pošto je koeficijent uz $t^2$ pozitivan, rešenje kvadratne nejednačine je interval između korena:

-\frac{1}{2} < t < \frac{\sqrt{3}}{2}

Vraćamo smenu $t = \sin x :$

-\frac{1}{2} < \sin x < \frac{\sqrt{3}}{2}

Tražimo presek uslova $\sin x > -\frac{1}{2}$ i $\sin x < \frac{\sqrt{3}}{2}$ na trigonometrijskoj kružnici. Prave $y = -\frac{1}{2}$ i $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$ seku kružnicu u tačkama koje odgovaraju uglovima:

-\frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6} \quad \text{i} \quad \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}

Deo kružnice za koji važi $-\frac{1}{2} < \sin x < \frac{\sqrt{3}}{2}$ sastoji se od dva odvojena luka. Prvi luk obuhvata uglove:

x \in \left( -\frac{\pi}{6} + 2k\pi, \frac{\pi}{3} + 2k\pi \right), \quad k \in \mathbb{Z}

Drugi luk obuhvata uglove:

x \in \left( \frac{2\pi}{3} + 2k\pi, \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \right), \quad k \in \mathbb{Z}

Konačno rešenje je unija ova dva skupa:

x \in \left( -\frac{\pi}{6} + 2k\pi, \frac{\pi}{3} + 2k\pi \right) \cup \left( \frac{2\pi}{3} + 2k\pi, \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \right), \quad k \in \mathbb{Z}

986.g