Kvadratna nejednačina po kosinusu x sa korenom 3

Uvodimo smenu $t = \cos x .$ Nejednačina postaje kvadratna po $t :$

4 t^2 - (2\sqrt{3} + 2) t + \sqrt{3} < 0

Rešavamo odgovarajuću kvadratnu jednačinu da bismo našli nule kvadratnog trinoma:

4 t^2 - (2\sqrt{3} + 2) t + \sqrt{3} = 0

Računamo diskriminantu kvadratne jednačine:

D = (-(2\sqrt{3} + 2))^2 - 4 \cdot 4 \cdot \sqrt{3} = (12 + 8\sqrt{3} + 4) - 16\sqrt{3} = 16 - 8\sqrt{3}

Primećujemo da se diskriminanta može zapisati kao kvadrat binoma:

D = 4(4 - 2\sqrt{3}) = 4(3 - 2\sqrt{3} + 1) = 4(\sqrt{3} - 1)^2

Nalazimo rešenja kvadratne jednačine:

t_{1,2} = \frac{2\sqrt{3} + 2 \pm \sqrt{4(\sqrt{3} - 1)^2}}{2 \cdot 4} = \frac{2\sqrt{3} + 2 \pm 2(\sqrt{3} - 1)}{8}

Prvo rešenje je:

t_1 = \frac{2\sqrt{3} + 2 + 2\sqrt{3} - 2}{8} = \frac{4\sqrt{3}}{8} = \frac{\sqrt{3}}{2}

Drugo rešenje je:

t_2 = \frac{2\sqrt{3} + 2 - 2\sqrt{3} + 2}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}

Pošto je koeficijent uz $t^2$ pozitivan ( $4 > 0$ ), kvadratni trinom je negativan između nula:

t \in \left( \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} \right)

Vraćamo smenu $t = \cos x :$

\frac{1}{2} < \cos x < \frac{\sqrt{3}}{2}

Rešavamo dobijenu dvostruku trigonometrijsku nejednačinu. Znamo da je $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ i $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} .$

Na trigonometrijskoj kružnici, kosinus uzima vrednosti između $\frac{1}{2}$ i $\frac{\sqrt{3}}{2}$ za uglove između $\frac{\pi}{6}$ i $\frac{\pi}{3}$ u prvom kvadrantu, kao i za uglove između $-\frac{\pi}{3}$ i $-\frac{\pi}{6}$ u četvrtom kvadrantu.

Uzimajući u obzir periodičnost funkcije kosinus (period je $2\pi$ ), konačno rešenje je unija intervala:

x \in \left( \frac{\pi}{6} + 2k\pi, \frac{\pi}{3} + 2k\pi \right) \cup \left( -\frac{\pi}{3} + 2k\pi, -\frac{\pi}{6} + 2k\pi \right), \quad k \in \mathbb{Z}

Započni učenje

Online časovi

986.v

Beleške