2922.

Trigonometrijske nejednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačine: 2sin⁡xcos⁡x≥22. 2 \sin x \cos x \ge \frac{\sqrt{2}}{2}.

2sin⁡xcos⁡x≥222 \sin x \cos x \ge \frac{\sqrt{2}}{2}
REŠENJE ZADATKA

Primenjujemo trigonometrijsku formulu za sinus dvostrukog ugla: sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x. \sin(2x) = 2 \sin x \cos x .

sin⁡(2x)≥22\sin(2x) \ge \frac{\sqrt{2}}{2}

Uvodimo smenu t=2x t = 2x i rešavamo osnovnu trigonometrijsku nejednačinu.

sin⁡t≥22\sin t \ge \frac{\sqrt{2}}{2}

Sa trigonometrijske kružnice očitavamo da je sinus veći ili jednak 22 \frac{\sqrt{2}}{2} u sledećem intervalu:

π4+2kπ≤t≤3π4+2kπ,k∈Z\frac{\pi}{4} + 2k\pi \le t \le \frac{3\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Vraćamo smenu t=2x: t = 2x :

π4+2kπ≤2x≤3π4+2kπ,k∈Z\frac{\pi}{4} + 2k\pi \le 2x \le \frac{3\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Delimo celu nejednakost sa 2 kako bismo izrazili x: x :

π8+kπ≤x≤3π8+kπ,k∈Z\frac{\pi}{8} + k\pi \le x \le \frac{3\pi}{8} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Konačno rešenje možemo zapisati u obliku unije intervala:

x∈⋃k∈Z[π8+kπ,3π8+kπ]x \in \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} \left[ \frac{\pi}{8} + k\pi, \frac{3\pi}{8} + k\pi \right]

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti