Nejednačina: 2 sin x cos x i koren 2 kroz 2

Primenjujemo trigonometrijsku formulu za sinus dvostrukog ugla: $\sin(2x) = 2 \sin x \cos x .$

\sin(2x) \ge \frac{\sqrt{2}}{2}

Uvodimo smenu $t = 2x$ i rešavamo osnovnu trigonometrijsku nejednačinu.

\sin t \ge \frac{\sqrt{2}}{2}

Sa trigonometrijske kružnice očitavamo da je sinus veći ili jednak $\frac{\sqrt{2}}{2}$ u sledećem intervalu:

\frac{\pi}{4} + 2k\pi \le t \le \frac{3\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Vraćamo smenu $t = 2x :$

\frac{\pi}{4} + 2k\pi \le 2x \le \frac{3\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Delimo celu nejednakost sa 2 kako bismo izrazili $x :$

\frac{\pi}{8} + k\pi \le x \le \frac{3\pi}{8} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Konačno rešenje možemo zapisati u obliku unije intervala:

x \in \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} \left[ \frac{\pi}{8} + k\pi, \frac{3\pi}{8} + k\pi \right]

978