2921. Trigonometrijske nejednačine

Množimo i delimo levu stranu nejednačine sa $\sqrt{2}$ kako bismo iskoristili adicionu formulu.

\sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \cos 2x - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin 2x \right) \ge 0

Zamenjujemo vrednosti $\frac{\sqrt{2}}{2}$ sa odgovarajućim trigonometrijskim funkcijama ugla $\frac{\pi}{4} .$

\sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} \cos 2x - \sin \frac{\pi}{4} \sin 2x \right) \ge 0

Primenjujemo adicionu formulu za kosinus zbira: $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta .$

\sqrt{2} \cos\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) \ge 0

Delimo nejednačinu sa $\sqrt{2} .$

\cos\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) \ge 0

Kosinus je nenegativan kada se njegov argument nalazi u intervalu od $-\frac{\pi}{2} + 2k\pi$ do $\frac{\pi}{2} + 2k\pi ,$ gde je $k \in \mathbb{Z} .$

-\frac{\pi}{2} + 2k\pi \le 2x + \frac{\pi}{4} \le \frac{\pi}{2} + 2k\pi

Oduzimamo $\frac{\pi}{4}$ od svih strana nejednakosti.

-\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + 2k\pi \le 2x \le \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + 2k\pi

Sređujemo izraze na krajevima nejednakosti.

-\frac{3\pi}{4} + 2k\pi \le 2x \le \frac{\pi}{4} + 2k\pi

Delimo celu nejednakost sa 2 kako bismo izrazili $x .$

-\frac{3\pi}{8} + k\pi \le x \le \frac{\pi}{8} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Zapisujemo konačno rešenje u obliku intervala.

x \in \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} \left[ -\frac{3\pi}{8} + k\pi, \frac{\pi}{8} + k\pi \right]

976