2907. Trigonometrijske jednačine

Podelimo celu jednačinu sa $2$ (što je vrednost izraza $\sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2}$ ):

\frac{1}{2} \sin x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x = 1

Zamenimo vrednosti $\frac{1}{2}$ i $\frac{\sqrt{3}}{2}$ odgovarajućim trigonometrijskim funkcijama ugla $\frac{\pi}{3} :$

\sin x \cos \frac{\pi}{3} - \cos x \sin \frac{\pi}{3} = 1

Primenimo adicionu formulu za sinus razlike $\sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y :$

\sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right) = 1

Rešimo osnovnu trigonometrijsku jednačinu. Sinus ima vrednost $1$ za ugao $\frac{\pi}{2}$ (uz dodatak perioda $2k\pi$ ):

x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Izrazimo $x$ prebacivanjem $-\frac{\pi}{3}$ na desnu stranu:

x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Saberemo razlomke svodeći ih na zajednički imenilac $6 :$

x = \frac{3\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Konačno rešenje jednačine je:

x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

958