2947. Trigonometrijske nejednačine

Transformišemo izraz na levoj strani nejednačine množenjem i deljenjem sa $\sqrt{2} .$

\cos x - \sin x = \sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x \right)

Prepoznajemo vrednosti trigonometrijskih funkcija za ugao $\frac{\pi}{4} .$

\sqrt{2} \left( \cos\frac{\pi}{4} \cos x - \sin\frac{\pi}{4} \sin x \right)

Primenjujemo adicionu formulu za kosinus zbira: $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta .$

\cos x - \sin x = \sqrt{2} \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right)

Zamenjujemo dobijeni izraz u početnu nejednačinu.

\sqrt{2} \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) < 1

Delimo nejednačinu sa $\sqrt{2}$ i racionališemo desnu stranu.

\cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) < \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

Uvodimo smenu $t = x + \frac{\pi}{4} .$ Nejednačina postaje:

\cos t < \frac{\sqrt{2}}{2}

Sa trigonometrijske kružnice očitavamo rešenja za $t .$ Kosinus je manji od $\frac{\sqrt{2}}{2}$ za uglove između $\frac{\pi}{4}$ i $\frac{7\pi}{4}$ u jednom periodu.

\frac{\pi}{4} + 2k\pi < t < \frac{7\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Vraćamo smenu $t = x + \frac{\pi}{4} .$

\frac{\pi}{4} + 2k\pi < x + \frac{\pi}{4} < \frac{7\pi}{4} + 2k\pi

Oduzimamo $\frac{\pi}{4}$ od svih delova nejednakosti kako bismo izrazili $x .$

2k\pi < x < \frac{6\pi}{4} + 2k\pi

Skraćujemo razlomak na desnoj strani.

2k\pi < x < \frac{3\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Zapisujemo konačno rešenje u obliku intervala.

x \in \left( 2k\pi, \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \right), \quad k \in \mathbb{Z}

981.a