2920. Trigonometrijske nejednačine

Da bismo rešili ovu trigonometrijsku nejednačinu, transformisaćemo izraz na levoj strani koristeći adicionu formulu. Prvo množimo i delimo izraz sa $\sqrt{2} .$

\sin x - \cos x = \sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x - \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x \right)

Znamo da je $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ i $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} ,$ pa možemo zameniti ove vrednosti u izraz.

\sqrt{2} \left( \sin x \cos \frac{\pi}{4} - \cos x \sin \frac{\pi}{4} \right)

Primenom adicione formule za sinus razlike $\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta ,$ dobijamo:

\sqrt{2} \sin \left( x - \frac{\pi}{4} \right)

Sada se početna nejednačina svodi na sledeći oblik:

\sqrt{2} \sin \left( x - \frac{\pi}{4} \right) > 0

Deljenjem sa pozitivnim brojem $\sqrt{2} ,$ znak nejednakosti se ne menja:

\sin \left( x - \frac{\pi}{4} \right) > 0

Funkcija sinus je pozitivna kada se njen argument nalazi u prvom i drugom kvadrantu, odnosno strogo između $0$ i $\pi$ (uz dodatak perioda $2k\pi$ ).

2k\pi < x - \frac{\pi}{4} < \pi + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Dodavanjem $\frac{\pi}{4}$ svim delovima nejednakosti, rešavamo po $x :$

\frac{\pi}{4} + 2k\pi < x < \pi + \frac{\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Sređivanjem desne strane dobijamo konačno rešenje:

\frac{\pi}{4} + 2k\pi < x < \frac{5\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Rešenje možemo zapisati i u obliku intervala:

x \in \left( \frac{\pi}{4} + 2k\pi, \frac{5\pi}{4} + 2k\pi \right), \quad k \in \mathbb{Z}

973.a