2899. Trigonometrijske jednačine

Ovo je linearna trigonometrijska jednačina oblika $a \sin x + b \cos x = c .$ Rešavamo je deljenjem cele jednačine sa $\sqrt{a^2 + b^2} .$ Za našu jednačinu, $a = 1$ i $b = \sqrt{3} ,$ pa računamo vrednost kojom delimo:

\sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2

Delimo polaznu jednačinu sa 2:

\frac{1}{2} \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}

Prepoznajemo vrednosti trigonometrijskih funkcija za ugao $\frac{\pi}{3} :$

\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}, \quad \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}

Zamenjujemo ove vrednosti u jednačinu:

\sin x \cos \frac{\pi}{3} + \cos x \sin \frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{2}}{2}

Primenjujemo adicionu formulu za sinus zbira $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta :$

\sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}

Rešavamo osnovnu trigonometrijsku jednačinu. Sinus ima vrednost $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ za uglove $-\frac{\pi}{4} + 2k\pi$ i $\frac{5\pi}{4} + 2k\pi ,$ gde je $k \in \mathbb{Z} .$

x + \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \lor \quad x + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi

Izražavamo $x$ iz prve jednačine:

x = -\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3} + 2k\pi = \frac{-3\pi - 4\pi}{12} + 2k\pi = -\frac{7\pi}{12} + 2k\pi

Izražavamo $x$ iz druge jednačine:

x = \frac{5\pi}{4} - \frac{\pi}{3} + 2k\pi = \frac{15\pi - 4\pi}{12} + 2k\pi = \frac{11\pi}{12} + 2k\pi

Konačno rešenje jednačine čine obe grupe rešenja, gde je $k$ ceo broj.

x = -\frac{7\pi}{12} + 2k\pi \quad \lor \quad x = \frac{11\pi}{12} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

959