2901. Trigonometrijske jednačine

Ovo je linearna trigonometrijska jednačina oblika $A \sin x + B \cos x = C .$ Rešavamo je deljenjem cele jednačine sa $\sqrt{A^2 + B^2} .$ U našem slučaju to je $\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = 2 .$

\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x = \frac{1}{2}

Prepoznajemo vrednosti trigonometrijskih funkcija za ugao $\frac{\pi}{6} .$

\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}

Zamenjujemo ove vrednosti u jednačinu.

\sin x \cos \frac{\pi}{6} + \cos x \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}

Primenjujemo adicionu formulu za sinus zbira: $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta .$

\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}

Rešavamo osnovnu trigonometrijsku jednačinu. Znamo da sinus uzima vrednost $\frac{1}{2}$ za uglove $\frac{\pi}{6}$ i $\frac{5\pi}{6}$ u prvom krugu.

x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \lor \quad x + \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Iz prve jednačine dobijamo prvi skup rešenja.

x = 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Iz druge jednačine dobijamo drugi skup rešenja.

x = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{6} + 2k\pi = \frac{4\pi}{6} + 2k\pi = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Konačno rešenje predstavlja uniju dobijenih skupova rešenja.

x \in \{ 2k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \} \cup \left\{ \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \right\}

957