2901.

Trigonometrijske jednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu: 3sin⁡x+cos⁡x=1 \sqrt{3} \sin x + \cos x = 1

REŠENJE ZADATKA

Ovo je linearna trigonometrijska jednačina oblika Asin⁡x+Bcos⁡x=C. A \sin x + B \cos x = C . Rešavamo je deljenjem cele jednačine sa A2+B2. \sqrt{A^2 + B^2} . U našem slučaju to je (3)2+12=3+1=2. \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = 2 .

32sin⁡x+12cos⁡x=12\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x = \frac{1}{2}

Prepoznajemo vrednosti trigonometrijskih funkcija za ugao π6. \frac{\pi}{6} .

cos⁡π6=32,sin⁡π6=12\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}

Zamenjujemo ove vrednosti u jednačinu.

sin⁡xcos⁡π6+cos⁡xsin⁡π6=12\sin x \cos \frac{\pi}{6} + \cos x \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}

Primenjujemo adicionu formulu za sinus zbira: sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β. \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta .

sin⁡(x+π6)=12\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}

Rešavamo osnovnu trigonometrijsku jednačinu. Znamo da sinus uzima vrednost 12 \frac{1}{2} za uglove π6 \frac{\pi}{6} i 5π6 \frac{5\pi}{6} u prvom krugu.

x+π6=π6+2kπ∨x+π6=5π6+2kπ,k∈Zx + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \lor \quad x + \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Iz prve jednačine dobijamo prvi skup rešenja.

x=2kπ,k∈Zx = 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Iz druge jednačine dobijamo drugi skup rešenja.

x=5π6−π6+2kπ=4π6+2kπ=2π3+2kπ,k∈Zx = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{6} + 2k\pi = \frac{4\pi}{6} + 2k\pi = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Konačno rešenje predstavlja uniju dobijenih skupova rešenja.

x∈{2kπ∣k∈Z}∪{2π3+2kπ∣k∈Z}x \in \{ 2k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \} \cup \left\{ \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \right\}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti