2923.

Trigonometrijske nejednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačine: ctg(π−x)<−1. \text{ctg}(\pi - x) < -1.

REŠENJE ZADATKA

Koristimo trigonometrijski identitet za svođenje na prvi kvadrant. Znamo da važi:

ctg(π−x)=−ctg(x)\text{ctg}(\pi - x) = -\text{ctg}(x)

Zamenjujemo ovaj identitet u početnu nejednačinu:

−ctg(x)<−1-\text{ctg}(x) < -1

Množimo nejednačinu sa −1. -1 . Prilikom množenja negativnim brojem, znak nejednakosti se menja:

ctg(x)>1\text{ctg}(x) > 1

Rešavamo dobijenu osnovnu trigonometrijsku nejednačinu. Prvo nalazimo za koje vrednosti je kotangens jednak jedinici:

ctg(x)=1  ⟹  x=π4+kπ,k∈Z\text{ctg}(x) = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Funkcija kotangens je strogo opadajuća na svom osnovnom periodu (0,π). (0, \pi) . Da bi vrednost kotangensa bila veća od 1, 1 , ugao mora biti manji od π4, \frac{\pi}{4} , ali strogo veći od 0 0 (zbog domena funkcije):

0<x<π40 < x < \frac{\pi}{4}

Dodajemo osnovni period funkcije kotangens, koji iznosi π, \pi , kako bismo obuhvatili sva rešenja:

kπ<x<π4+kπ,k∈Zk\pi < x < \frac{\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Konačno rešenje možemo zapisati i u obliku intervala:

x∈(kπ,π4+kπ),k∈Zx \in \left(k\pi, \frac{\pi}{4} + k\pi\right), \quad k \in \mathbb{Z}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti