2992. Trigonometrijske nejednačine

Uvodimo smenu $t = 3x - 1 .$ Nejednačina postaje:

\sin t < -\frac{1}{2}

Rešavamo nejednačinu $\sin t < -\frac{1}{2}$ na trigonometrijskom krugu. Vrednosti ugla za koje je sinus jednak $-\frac{1}{2}$ su $\frac{7\pi}{6}$ i $\frac{11\pi}{6} .$ Sinus uzima vrednosti manje od $-\frac{1}{2}$ na intervalu između ovih uglova.

\frac{7\pi}{6} + 2k\pi < t < \frac{11\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Vraćamo smenu $t = 3x - 1 :$

\frac{7\pi}{6} + 2k\pi < 3x - 1 < \frac{11\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Dodajemo 1 svim stranama nejednakosti:

\frac{7\pi}{6} + 1 + 2k\pi < 3x < \frac{11\pi}{6} + 1 + 2k\pi

Delimo nejednakost sa 3 da bismo izrazili $x :$

\frac{7\pi}{18} + \frac{1}{3} + \frac{2k\pi}{3} < x < \frac{11\pi}{18} + \frac{1}{3} + \frac{2k\pi}{3}

Zapisujemo konačno rešenje u obliku intervala:

x \in \left( \frac{7\pi}{18} + \frac{1}{3} + \frac{2k\pi}{3}, \frac{11\pi}{18} + \frac{1}{3} + \frac{2k\pi}{3} \right), \quad k \in \mathbb{Z}

979