2927.

972.a

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačine: 2sin⁡x−3>0; 2 \sin x - \sqrt{3} > 0;

REŠENJE ZADATKA

Prvo, izolujemo sin⁡x \sin x na jednoj strani nejednačine. Prebacujemo 3 \sqrt{3} na desnu stranu i delimo celu nejednačinu sa 2. 2 .

sin⁡x>32\sin x > \frac{\sqrt{3}}{2}

Rešavamo odgovarajuću jednačinu sin⁡x=32 \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} da bismo našli granične vrednosti na osnovnom intervalu [0,2π]. [0, 2\pi] .

x1=π3,x2=π−π3=2π3x_1 = \frac{\pi}{3}, \quad x_2 = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}

Sa trigonometrijske kružnice vidimo da je vrednost sinusa veća od 32 \frac{\sqrt{3}}{2} za uglove koji se nalaze strogo između ove dve vrednosti.

x∈(π3,2π3)x \in \left( \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3} \right)

Pošto je funkcija sinus periodična sa osnovnim periodom 2π, 2\pi , opšte rešenje dobijamo dodavanjem 2kπ 2k\pi na granice intervala, gde je k k ceo broj.

x∈(π3+2kπ,2π3+2kπ),k∈Zx \in \left( \frac{\pi}{3} + 2k\pi, \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \right), \quad k \in \mathbb{Z}