2905. Trigonometrijske jednačine

Množimo celu jednačinu sa $\frac{\sqrt{2}}{2}$ kako bismo iskoristili adicionu formulu.

\frac{\sqrt{2}}{2} \sin x + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}

Prepoznajemo vrednosti sinusa i kosinusa za ugao $\frac{\pi}{4} .$

\cos \frac{\pi}{4} \sin x + \sin \frac{\pi}{4} \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}

Primenjujemo adicionu formulu za sinus zbira: $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta .$

\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}

Rešavamo osnovnu trigonometrijsku jednačinu. Sinus ima vrednost $\frac{\sqrt{2}}{2}$ za uglove $\frac{\pi}{4} + 2k\pi$ i $\frac{3\pi}{4} + 2k\pi .$

x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \lor \quad x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Izražavamo $x$ iz prve jednačine.

x = 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Izražavamo $x$ iz druge jednačine.

x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Konačno rešenje je unija ova dva skupa rešenja.

x \in \{2k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\} \cup \left\{\frac{\pi}{2} + 2k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\right\}

2905.Trigonometrijske jednačine