2916.

Trigonometrijske jednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačine (zadaci 957-963):^5

12cos⁡x−5sin⁡x=−1312 \cos x - 5 \sin x = -13
REŠENJE ZADATKA

Jednačina je oblika acos⁡x+bsin⁡x=c. a \cos x + b \sin x = c . Rešavamo je metodom uvođenja pomoćnog ugla. Delimo celu jednačinu sa a2+b2, \sqrt{a^2+b^2} , odnosno sa 122+(−5)2=144+25=13. \sqrt{12^2+(-5)^2} = \sqrt{144+25} = 13 .

1213cos⁡x−513sin⁡x=−1\frac{12}{13} \cos x - \frac{5}{13} \sin x = -1

Uvodimo pomoćni ugao φ \varphi takav da važi:

cos⁡φ=1213,sin⁡φ=513\cos \varphi = \frac{12}{13}, \quad \sin \varphi = \frac{5}{13}

Zamenjujemo ove vrednosti u jednačinu:

cos⁡φcos⁡x−sin⁡φsin⁡x=−1\cos \varphi \cos x - \sin \varphi \sin x = -1

Primenjujemo adicionu formulu za kosinus zbira cos⁡(x+φ)=cos⁡xcos⁡φ−sin⁡xsin⁡φ: \cos(x + \varphi) = \cos x \cos \varphi - \sin x \sin \varphi :

cos⁡(x+φ)=−1\cos(x + \varphi) = -1

Rešavamo dobijenu osnovnu trigonometrijsku jednačinu:

x+φ=π+2kπ,k∈Zx + \varphi = \pi + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Izražavamo nepoznatu x: x :

x=π−φ+2kπ,k∈Zx = \pi - \varphi + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Pošto je sin⁡φ=513 \sin \varphi = \frac{5}{13} i ugao φ \varphi pripada prvom kvadrantu (jer su mu i sinus i kosinus pozitivni), možemo zapisati φ=arcsin⁡513. \varphi = \arcsin \frac{5}{13} . Konačno rešenje je:

x=π−arcsin⁡513+2kπ,k∈Zx = \pi - \arcsin \frac{5}{13} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti