2909. Trigonometrijske jednačine

Primenjujemo formulu za transformaciju zbira kosinusa u proizvod: $\cos x + \cos y = 2 \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}$ na prvu jednačinu.

2 \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} = \sqrt{3}

Iz druge jednačine sistema znamo da je $x + y = \frac{\pi}{3} .$ Zamenjujemo ovu vrednost u dobijeni izraz.

2 \cos \frac{\frac{\pi}{3}}{2} \cos \frac{x-y}{2} = \sqrt{3}

Sređujemo razlomak unutar prvog kosinusa.

2 \cos \frac{\pi}{6} \cos \frac{x-y}{2} = \sqrt{3}

Zamenjujemo poznatu vrednost trigonometrijske funkcije $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} .$

2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \frac{x-y}{2} = \sqrt{3}

Skraćujemo dvojke na levoj strani, a zatim delimo celu jednačinu sa $\sqrt{3} .$

\cos \frac{x-y}{2} = 1

Rešavamo dobijenu osnovnu trigonometrijsku jednačinu.

\frac{x-y}{2} = 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Množimo jednačinu sa 2 kako bismo dobili izraz za razliku $x - y .$

x - y = 4k\pi

Sada imamo jednostavan sistem linearnih jednačina po $x$ i $y .$

\begin{cases} x + y = \frac{\pi}{3} \\ x - y = 4k\pi \end{cases}

Sabiranjem ove dve jednačine dobijamo vrednost za $x .$

2x = \frac{\pi}{3} + 4k\pi \implies x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi

Oduzimanjem druge jednačine od prve dobijamo vrednost za $y .$

2y = \frac{\pi}{3} - 4k\pi \implies y = \frac{\pi}{6} - 2k\pi

Zapisujemo konačno rešenje sistema.

(x, y) = \left( \frac{\pi}{6} + 2k\pi, \frac{\pi}{6} - 2k\pi \right), \quad k \in \mathbb{Z}

964