2910. Trigonometrijske jednačine

Zapišimo drugu jednačinu preko sinusa i kosinusa:

\frac{\sin x \sin y}{\cos x \cos y} = 3

Zamenimo vrednost $\sin x \sin y = \frac{3}{4}$ iz prve jednačine u dobijenu jednačinu:

\frac{\frac{3}{4}}{\cos x \cos y} = 3

Računamo $\cos x \cos y :$

\cos x \cos y = \frac{1}{4}

Sada imamo ekvivalentan sistem jednačina:

\begin{cases} \cos x \cos y = \frac{1}{4} \\ \sin x \sin y = \frac{3}{4} \end{cases}

Koristeći adicione formule za kosinus zbira i razlike, dobijamo:

\begin{cases} \cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y \\ \cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y \end{cases}

Zamenom vrednosti u adicione formule dobijamo:

\begin{cases} \cos(x - y) = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1 \\ \cos(x + y) = \frac{1}{4} - \frac{3}{4} = -\frac{1}{2} \end{cases}

Rešavamo dobijene osnovne trigonometrijske jednačine:

\begin{cases} x - y = 2k\pi \\ x + y = \pm \frac{2\pi}{3} + 2m\pi \end{cases}, \quad k, m \in \mathbb{Z}

Sabiranjem i oduzimanjem ovih jednačina dobijamo rešenja za $x$ i $y ,$ pri čemu se znak $\pm$ uzima istovremeno za obe nepoznate:

\begin{cases} 2x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2(m+k)\pi \\ 2y = \pm \frac{2\pi}{3} + 2(m-k)\pi \end{cases}

Deljenjem sa 2 dobijamo konačna rešenja sistema:

\begin{cases} x = \pm \frac{\pi}{3} + (m+k)\pi \\ y = \pm \frac{\pi}{3} + (m-k)\pi \end{cases}, \quad k, m \in \mathbb{Z}

2910.Trigonometrijske jednačine