965

Kvadriramo obe jednačine sistema kako bismo iskoristili osnovne trigonometrijske identitete:

Sabiranjem ovih dveju jednačina dobijamo:

Izvlačimo 2 ispred zagrade na levoj strani i koristimo osnovni trigonometrijski identitet $\sin^2 x + \cos^2 x = 1 :$

Takođe, koristeći identitet $\sin^2 y = 1 - \cos^2 y ,$ zamenjujemo $\sin^2 y$ u jednačini:

Sređivanjem jednačine dobijamo vrednost za $\cos^2 y :$

Sada možemo naći vrednosti za $\sin^2 x$ i $\cos^2 x$ zamenom $\cos^2 y$ i $\sin^2 y$ u kvadrirane jednačine. Pošto je $\cos^2 y = \frac{1}{2} ,$ sledi da je $\sin^2 y = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} .$

Iz ovoga dobijamo moguće vrednosti za $\sin x$ i $\cos x :$

Ove vrednosti odgovaraju uglovima $x = \pm \frac{\pi}{6} + k\pi ,$ gde je $k \in \mathbb{Z} .$

Vratimo se na početni sistem da bismo odredili odgovarajuće vrednosti za $y .$ Znakovi $\sin x$ i $\sin y$ moraju biti isti, kao i znakovi $\cos x$ i $\cos y .$

Za $x = \frac{\pi}{6} + k\pi ,$ imamo $\sin x = (-1)^k \frac{1}{2}$ i $\cos x = (-1)^k \frac{\sqrt{3}}{2} .$ Tada je $\sin y = (-1)^k \frac{\sqrt{2}}{2}$ i $\cos y = (-1)^k \frac{\sqrt{2}}{2} .$ Ovo odgovara uglu $y = \frac{\pi}{4} + k\pi + 2m\pi ,$ gde je $m \in \mathbb{Z} .$

Za $x = -\frac{\pi}{6} + k\pi ,$ imamo $\sin x = (-1)^k \left(-\frac{1}{2}\right)$ i $\cos x = (-1)^k \frac{\sqrt{3}}{2} .$ Tada je $\sin y = (-1)^k \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ i $\cos y = (-1)^k \frac{\sqrt{2}}{2} .$ Ovo odgovara uglu $y = -\frac{\pi}{4} + k\pi + 2m\pi .$

Konačno rešenje sistema možemo zapisati objedinjavanjem ova dva slučaja, pri čemu se znakovi $\pm$ moraju poklapati.