2906. Trigonometrijske jednačine

Koristimo osnovni trigonometrijski identitet $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ da bismo broj 2 na desnoj strani jednačine zapisali preko sinusa i kosinusa.

3 \sin^2 x - 4 \sin x \cos x + 5 \cos^2 x = 2(\sin^2 x + \cos^2 x)

Množimo zagradu i prebacujemo sve članove na levu stranu jednačine.

3 \sin^2 x - 4 \sin x \cos x + 5 \cos^2 x - 2 \sin^2 x - 2 \cos^2 x = 0

Sređujemo jednačinu grupisanjem sličnih članova.

\sin^2 x - 4 \sin x \cos x + 3 \cos^2 x = 0

Proveravamo da li je $\cos x = 0$ rešenje. Ako bi bilo $\cos x = 0 ,$ onda bi iz jednačine sledilo da je i $\sin x = 0 ,$ što je nemoguće jer mora važiti $\sin^2 x + \cos^2 x = 1 .$ Zato je $\cos x \neq 0$ i možemo podeliti celu jednačinu sa $\cos^2 x .$

\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - 4 \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} + 3 \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0

Skraćivanjem razlomaka dobijamo kvadratnu jednačinu po $\tan x .$

\tan^2 x - 4 \tan x + 3 = 0

Uvodimo smenu $t = \tan x .$

t^2 - 4t + 3 = 0

Rešavamo dobijenu kvadratnu jednačinu.

t_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2}

Dobijamo rešenja za $t .$

t_1 = 3, \quad t_2 = 1

Vraćamo smenu za prvo rešenje $t_1 = 3 .$

\tan x = 3 \implies x = \arctan 3 + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Vraćamo smenu za drugo rešenje $t_2 = 1 .$

\tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Konačno rešenje je unija dobijenih rešenja.

x \in \left\{ \arctan 3 + k\pi, \frac{\pi}{4} + k\pi \right\}, \quad k \in \mathbb{Z}

955