2906.

Trigonometrijske jednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačine (zadaci 953-956): 3sin⁡2x−4sin⁡xcos⁡x+5cos⁡2x=2. 3 \sin^2 x - 4 \sin x \cos x + 5 \cos^2 x = 2 .

REŠENJE ZADATKA

Koristimo osnovni trigonometrijski identitet sin⁡2x+cos⁡2x=1 \sin^2 x + \cos^2 x = 1 da bismo broj 2 na desnoj strani jednačine zapisali preko sinusa i kosinusa.

3sin⁡2x−4sin⁡xcos⁡x+5cos⁡2x=2(sin⁡2x+cos⁡2x)3 \sin^2 x - 4 \sin x \cos x + 5 \cos^2 x = 2(\sin^2 x + \cos^2 x)

Množimo zagradu i prebacujemo sve članove na levu stranu jednačine.

3sin⁡2x−4sin⁡xcos⁡x+5cos⁡2x−2sin⁡2x−2cos⁡2x=03 \sin^2 x - 4 \sin x \cos x + 5 \cos^2 x - 2 \sin^2 x - 2 \cos^2 x = 0

Sređujemo jednačinu grupisanjem sličnih članova.

sin⁡2x−4sin⁡xcos⁡x+3cos⁡2x=0\sin^2 x - 4 \sin x \cos x + 3 \cos^2 x = 0

Proveravamo da li je cos⁡x=0 \cos x = 0 rešenje. Ako bi bilo cos⁡x=0, \cos x = 0 , onda bi iz jednačine sledilo da je i sin⁡x=0, \sin x = 0 , što je nemoguće jer mora važiti sin⁡2x+cos⁡2x=1. \sin^2 x + \cos^2 x = 1 . Zato je cos⁡x≠0 \cos x \neq 0 i možemo podeliti celu jednačinu sa cos⁡2x. \cos^2 x .

sin⁡2xcos⁡2x−4sin⁡xcos⁡xcos⁡2x+3cos⁡2xcos⁡2x=0\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - 4 \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} + 3 \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0

Skraćivanjem razlomaka dobijamo kvadratnu jednačinu po tan⁡x. \tan x .

tan⁡2x−4tan⁡x+3=0\tan^2 x - 4 \tan x + 3 = 0

Uvodimo smenu t=tan⁡x. t = \tan x .

t2−4t+3=0t^2 - 4t + 3 = 0

Rešavamo dobijenu kvadratnu jednačinu.

t1,2=4±(−4)2−4⋅1⋅32=4±16−122=4±22t_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2}

Dobijamo rešenja za t. t .

t1=3,t2=1t_1 = 3, \quad t_2 = 1

Vraćamo smenu za prvo rešenje t1=3. t_1 = 3 .

tan⁡x=3  ⟹  x=arctan⁡3+kπ,k∈Z\tan x = 3 \implies x = \arctan 3 + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Vraćamo smenu za drugo rešenje t2=1. t_2 = 1 .

tan⁡x=1  ⟹  x=π4+kπ,k∈Z\tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Konačno rešenje je unija dobijenih rešenja.

x∈{arctan⁡3+kπ,π4+kπ},k∈Zx \in \left\{ \arctan 3 + k\pi, \frac{\pi}{4} + k\pi \right\}, \quad k \in \mathbb{Z}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti