2904. Trigonometrijske jednačine

Koristimo osnovni trigonometrijski identitet $1 = \sin^2 x + \cos^2 x$ i zamenjujemo ga na desnoj strani jednačine.

\cos^2 x + 3 \sin^2 x + 2\sqrt{3} \sin x \cos x = \sin^2 x + \cos^2 x

Prebacujemo sve članove na levu stranu i sređujemo jednačinu.

2 \sin^2 x + 2\sqrt{3} \sin x \cos x = 0

Delimo jednačinu sa 2.

\sin^2 x + \sqrt{3} \sin x \cos x = 0

Izvlačimo zajednički činilac $\sin x$ ispred zagrade.

\sin x (\sin x + \sqrt{3} \cos x) = 0

Proizvod je jednak nuli ako je bar jedan od činilaca jednak nuli. Dobijamo dva slučaja. Prvi slučaj je:

\sin x = 0

Rešavamo prvu jednačinu.

x = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Drugi slučaj je:

\sin x + \sqrt{3} \cos x = 0

Delimo jednačinu sa $\cos x$ (uz uslov $\cos x \neq 0$ ).

\tan x + \sqrt{3} = 0

Izražavamo $\tan x .$

\tan x = -\sqrt{3}

Rešavamo dobijenu jednačinu po $x .$

x = -\frac{\pi}{3} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Konačno rešenje je unija rešenja iz oba slučaja.

x \in \left\{ k\pi, -\frac{\pi}{3} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \right\}

956